Enunciado

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.

11. f x ,   y ,   z = z - x 2 + y 2 .

Passo 1

Então pessoal, calcular o gradiente de um campo escalar quando temos uma função bem definidinha, assim como é o nosso caso, é bem tranquilo, tá? Basta derivarmos parcialmente em relação a cada eixo e botar tudo numa soma, desse jeito aqui ó:

g r a d   f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Sendo assim, só precisamos encontrar essas derivadas e substituir em seus devidos lugares, ok? Então let’s go!

Passo 2

Para x a derivada parcial será:

∂ f ∂ x = - 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 . 2 x

Para y a derivada parcial será:

∂ f ∂ y = - 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 . 2 y

Para z a derivada parcial será:

∂ f ∂ z = 1

Dessa forma, nosso gradiente será:

g r a d   f = - 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 . 2 x i → + - 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 . 2 y j → + k →

Resposta

g r a d   f = - 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 . 2 x i → + - 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 . 2 y j → + k →

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