Enunciado

32. Dada a integral imprópria ∫ a b d x x - a n   onde b > a, determine se a integral é convergente ou divergente em cada um dos casos: (a) 0 1. Se a integral for convergente, calcule-a.

Passo 1

Para o cálculo da integral imprópia pode ser adotado todo o método utilizado na resolução das primeiras questões dessa seção.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Passo 2

Letra (a)

0

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita em a (que está dentro do intervalo dos limetes de integração dado), sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ a b d x x - a n   = l i m t → a + ∫ t b d x x - a n = l i m t → a + x - a - n + 1 - n + 1 t b =

= 1 1 - n . l i m t → a + b - a 1 - n - t - a 1 - n = 1 1 - n . b - a 1 - n

Logo, neste intervalo a integral é convergente.

∫ a b d x x - a n   = 1 1 - n . b - a 1 - n

Passo 3

Letra (b)

n = 1

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita em a (que está dentro do intervalo dos limetes de integração dado), sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ a b d x x - a n   = l i m t → a + ∫ t b d x x - a 1 = l i m t → a + l n x - a t b =

l i m t → a + ln ⁡ b - a - ln ⁡ t - a = + ∞

Logo, neste intervalo a integral é divergente.

Passo 4

Letra (c)

n > 1

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita em a (que está dentro do intervalo dos limetes de integração dado), sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ a b d x x - a n   = l i m t → a + ∫ t b d x x - a n = l i m t → a + x - a - n + 1 - n + 1 t b =

- 1 n - 1 . l i m t → a + b - a - ( n - 1 ) - t - a - ( n - 1 ) = - 1 n - 1 . l i m t → a + 1 b - a n - 1 - 1 t - a n - 1 = + ∞

Logo, neste intervalo a integral é divergente.

Resposta

Demonstração.

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes. ∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2 d x
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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes. ∫ 0 ∞ cos 2 ⁡ ( α ) d α
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente: ∫ 1 ∞cos 2 ⁡ x 1 + x 2
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente: ∫ 1 ∞d x x + e 2 x