Enunciado

Os pontos A e B estão separados por 1000m. Pelo som de uma explosão ouvida nesses pontos em instantes diferentes, foi determinado que a localização da explosão é de 600m mais perto de A do que de B. Mostre que a localização da explosão está restrita a uma certa curva e ache uma equação dessa curva.

Passo 1

Vamos fazer essa questão bombástica!! Pela questão sabemos que a curva é uma hipérbole, porque com os 2 pontos separados 1000m, somente uma hipérbole faz com que um ponto fique mais perto de outro continuando na mesma curva, considerando que foi ouvida em instantes diferentes.

E sabemos também que a curva é feita a partir desses dois pontos, logo são o foco.

D i s t a n c i a   f o c a l = 2 c

1000 = 2 c

c = 500

Passo 2

E para nossa formula que envolve os termos a, b e c, temos que:

c 2 = b 2 + a 2

Se a distância da explosão está a 600m mais perto de certo ponto do que de outro, temos que esse 600 corresponde a nossa distancia entre vértices (2a). Logo:

2 a = 600

a = 300

Portanto:

c 2 = b 2 + a 2

500 2 = b 2 + 300 2

b = 400

Passo 3

Temos tudo que precisamos! O formato da nossa curva e os nossos parâmetros para a equação!

Uma hipérbole tem forma:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Logo, o da nossa equação corresponde a:

x 2 300 2 - y 2 400 2 = 1

Resposta

x 2 300 2 - y 2 400 2 = 1

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