Enunciado

É dada uma tabela de sinais para as derivadas primeira e segunda de uma função. f . Supondo que f seja contínua em toda parte, encontre: (a) os intervalos em que f é crescente, (b) os intervalos em que f é decrescente, (c) os intervalos abertos em que f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo e (e) as coordenadas de x de todos os pontos de inflexão.

Passo 1

(a) f vai ser crescente nos intervalos em que o sinal da derivada primeira for positivo. Pela tabela, temos os intervalos em que isso ocorre:

- ∞ , 1 , ( 1 ,   3 ) e ( 3 ,   + ∞ )

Passo 2

(b)De forma análoga, f vai ser decrescente nos intervalos em que o sinal da derivada primeira for negativo.

No caso dessa função, não temos intervalos em que f ' ( x ) , a derivada primeira, seja negativa. Logo, não existem esses intervalos.

Passo 3

(c) f vai ser côncava pra cima nos intervalos em que a derivada segunda tiver sinal positivo. Pela tabela, vemos que isso ocorre em:

- ∞ ,   1   e ( 3 ,   + ∞ )

Passo 4

(d)De forma análoga, f vai ser côncava pra baixo nos intervalos em que a derivada segunda tiver sinal negativo. Teremos isso em:

( 1 ,   3 )

Passo 5

(e)Os pontos de inflexão vão ocorrer nos pontos comuns dos intervalos em que ocorre a mudança do sinal da derivada segunda. Esses pontos são:

x = 1 e x = 3

Resposta

(a) - ∞ , 1 , ( 1 ,   3 ) e ( 3 ,   + ∞ )

(b)Não há intervalos.

(c) - ∞ ,   1   e ( 3 ,   + ∞ )

(d) ( 1 ,   3 )

(e) x = 1 e x = 3

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b) f(x) = 2 x 3 - x 2 - 4x + 1
e) g(x) = e - x - e - 2 x
l) g(x) = x 2 -x 3 3
i) f(x) = l n x x
m) y = x 3 1 + x 2