Enunciado

Dada f (x) = int_1^x sqrt(16 - t^4) d t , - 2 <= x <= 2 . Prove que f tem uma inversa f^(- 1) e calcule ( f^(- 1) ) ' ( 0 ) .

Passo 1

O bizu desta questão é buscar a derivada de f ( x ) sem tentar calcular f ( x ) . Vamos aplicar essa ideia devagar para não nos perdemos!

int_1^x sqrt(16 - t^4) d t = F (x) - F ( 1 )

Onde F ( t ) é uma primitiva! Note ainda que F (1) vai ser uma constante embora nos não saibamos seu valor. Assim teremos:

f (x) = F (x) - F (1)

Derivando dos dois lados:

f^' (x) = D_x (F (x) - F (1))

Como já falamos F (2) é constante logo sua derivada é igual a zero. Assim teremos:

f^' (x) = sqrt(16 - x^4)

Note para qualquer valor de x no intervalo [- 2,2] f^' (x) será positivo ( f^' (x) >= 0 ) !! Logo podemos dizer que f (x) é crescente no mesmo intervalo.

Por outro lado, sabemos que há um teorema que diz que se uma função é crescente (ou decrescente) em um intervalo, ela será bijetora. Deste modo, chegamos a conclusão que f^(- 1) (x) existe!

Passo 2

Agora, para prosseguir devemos nos lembrar de que:

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f^' (c)) , onde f ( c ) = d .

Então para calcular ( f^(- 1) ) ' ( 0 ) devemos descobrir c tal que f ( c ) = 0

Lembrando que int_a^a h ( t ) d t = 0 , podemos notar que f (1) = 0

f (1) = int_1^1 sqrt(16 - x^4) d t = 0

Logo descobrimos que c = 1

Passo 3

Calculando f ' (1) , teremos:

f^' (2) = sqrt(16 - 1^4)

f^' (2) = sqrt(1 5)

Sabendo que (f^(- 1))^' (0) = (1)/(f^' (1)) , chegamos em:

(f^(- 1))^' (0) = (1)/(sqrt(15))

Resposta

(f^(- 1))^' (0) = (1)/(sqrt(15))

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Determine a derivada.b) f ( x ) = a r c s e n ( 3 x )
Determine a derivada.j) y = (x a r c t g x)/(cos 2 x)
Determine a derivada.f) y = a r c s e n ( e x )
Determine a derivada.l) y = e^(- 3 x) + ln (a r c t g x)
Determine a derivada.h) y = s e n3 x a r c t g4 x