Enunciado

Um sólido ocupa a região E com superfície S e está imerso em um líquido com densidade constante ρ . Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano x y coincida com a superfície do liquido e valores positivos de z sejam medidos para baixp, adentrando o líquido. Então, a pressão na profundidade z é p = ρ g z , onde g é a aceleração da gravidade (veja a Seção 6.5). A força de empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de pressão é dada pela integral de superfície

F = - ∬ S p n   d S

onde n é o vetor normal unitário apontando para fora. Use o resultado do Exercício 31 para mostrar que F = - W k , onde W é o peso do líquido deslocado pelo sólido. (Observe que F é orientado para cima porque z está orientado para baixo.) O resultado é o Princípio de Arquimedes: a froça de empuxo sobre um objeto é igual ao peso do líquido deslocado.

Passo 1

Pelo exercício 31 do Capítulo 16 da seção 9 nós sabemos que:

∬ S f n   d S = ∭ E ∇ f   d V

A questão nos dá que:

F = - ∬ S p n   d S

Então pela equação da questão 31 podemos fazer:

F = - ∬ S p n   d S = - ∭ E ∇ p   d V

Passo 2

Também nos é dado no enunciado que a pressão na profundidade z é p = ρ g z , pela definição também sabemos que:

∇ p = ∂ p ∂ x i + ∂ p ∂ y j + ∂ p ∂ z k = ∂ ρ g z ∂ x i + ∂ ρ g z ∂ y j + ∂ ρ g z ∂ z k = 0 i + 0 j + ρ g k = ρ g k

Vamos substituir isso na integral:

F = - ∬ S p n   d S = - ∭ E ∇ p   d V = - ∭ E ρ g k   d V = - ρ g k ∭ E   d V = - ρ g V k

Passo 3

Temos que a massa do líquido deslocado pelo volume é a mesma do sólido:

m = ρ V

Temos que W é o peso do líquido deslocado pelo sólidoe é dado pela fórmula:

W = m ∙ g = ρ V g

Substituindo em F :

F = - ρ g V k = - W k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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