Dado que f'(x) = x / (x^2 + 1) e g(x) = raiz(3x - 1) , encontre F'(x) se F(x) = f(g(x)) .

Passo 1

Sabendo pelo enunciado que F ( x ) é a composição das funções f e g , e, como queremos sua derivada, vai bastar que a gente aplique a regra da cadeia.

Como já sabemos de exercícios anteriores, pra derivar uma função composta, pela regra da cadeia, vamos derivando a função de fora pra dentro, multiplicando as derivadas que calculamos. Assim, temos:

F ' x = f ' ( g x ) ∙ g ' ( x )

Passo 2

Pra começar, então, precisamos então de f ' ( g x ) . Temos a expressão pra f ' ( x ) e pra g ( x ) . Então, é só aplicar g ( x ) pra x na expressão de f ' ( x ) . Vamos ter:

f ' g x = 3 x - 1 3 x - 1 2 + 1 =

= 3 x - 1 3 x - 1 + 1 =

= 3 x - 1 3 x

Passo 3

Agora, precisamos de g ' ( x ) . Então é só derivar g ( x ) que temos no enunciado. Aqui, também aplicamos a regra da cadeia, já que g ( x ) é uma função composta. Assim, teremos:

g ' x = 1 2 3 x - 1 ∙ 3 - 0

= 3 2 3 x - 1

Passo 4

Já temos então a expressão pra F ' ( x ) , que vai ser:

F ' x = 3 x - 1 3 x ∙ 3 2 3 x - 1 =

= 1 2 x

Resposta

F ' x = 1 2 x

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