Encontre f'(x^2) se df(x^2)/dx = x^2 .

Passo 1

Podemos trabalhar com a regra da cadeia e determinar f ' ( x 2 ) assim: vamos chamar de g x = x 2 . Como você pode ver então, temos uma composição de f e g , do tipo f ( g x ) , já que temos f ( x 2 ) .

A derivada pra f ( x 2 ) , d f ( x 2 ) d x = d f ( g x ) d x , pela regra da cadeia, se calcula assim:

d f ( g x ) d x = f ' ( g x ) ∙ g ' ( x )

E, como definimos, isso equivale a:

d f ( x 2 ) d x = f ' ( x 2 ) ∙ g ' ( x )

Passo 2

Queremos f ' ( x 2 ) . Temos d f ( x 2 ) d x = x 2 . Precisamos de g ' x , que calculamos facilmente, pois temos g x . Temos:

g ' x = 2 x

Agora só substituir o que temos na última equação do Passo 1 e conseguimos determinar f ' ( x 2 ) . Vamos ter:

Passo 3

d f ( x 2 ) d x g ' ( x ) = f ' ( x 2 )

x 2 2 x = f ' ( x 2 )

∴ f ' x 2 = x 2

Resposta

f ' x 2 = x 2

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