Enunciado

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Dado uma função f e um número c .

a) Mostre que lim x → c ⁡ f ( x ) > 0 .

b) Verifique o Teorema 2.10.1 para a função f , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que f ( x ) > 0 para todo x ≠ c no intervalo.

f x = x 4 - 1 x 2 - 1 ;   c = - 1

Passo 1

  1. Por se tratar de uma indeterminação vamos aplicar uma manipulação no limite de forma a não alterar o seu resultado.

lim x → - 1 ⁡ x 4 - 1 x 2 - 1 = lim x → - 1 ⁡ x 2 - 1 x 2 + 1 x 2 - 1  

=   lim x → - 1 ⁡ x 2 + 1

=   - 1 2 + 1

= 2 > 0

Passo 2

b) Aplicando o caso 1 temos que

x 4 - 1 > 0   e   x 2 - 1 > 0

x 4 > 1   e   x 2 > 1

x > 1   e   x > 1

Aplicando o caso 2 temos que

x 4 - 1 < 0   e   x 2 - 1 < 0

x 4 < 1   e   x 2 < 1

x < 1   e   x < 1

Assim o conjunto solução é - ∞ ,   + ∞

Resposta

a)

lim x → - 1 ⁡ x 4 - 1 x 2 - 1 = 2 > 0

b)

O conjunto solução é - ∞ ,   + ∞

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