Enunciado

Explique usando os teoremas 4,5,7 e 9, porque a função é contínua em todo o número em seu domínio. Estabeleça o domínio

25.

f ( x ) = e x sin ⁡ 5 x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f ( x ) = e x sin ⁡ 5 x

E temos que usar os teoremas 4 , 5 , 7 e 9 para provar que a função é contínua e tambem temos que estabelecer seu domínio.

Tem ideia de como fazemos isso?

Perceba que f x é o produto de duas funções e x e sin ⁡ 5 x . Então podemos usar o teorema 4 para provar que f x é contínua.

O teorema 4 diz que se f e g forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes funções são contínuas:

1 . f + g ,     2 . f - g ,     3 . c f ,     4 . f g ,     5 . f g ,   s e   g a ≠ 0

Perceba que nossa função se encaixa no quesito 4 do teorema...

Já para determinar o domínio de uma função basta analisarmos os valores que x pode assumir para que a função exista.

Veja só!

Passo 2

Vamos chamar f x = g x · h x , onde g x = e x e h x = sin ⁡ 5 x .

Então se provarmos que g e h são contínuas provamos que f x é contínua.

Essas funções são bem famosas...

g x = e x

É uma função exponencial e como e é uma constante, g x é continua em todo seu domínio já que para qualquer valor de x existe um valor que corresponde a e x .

Já para

h x = sin ⁡ 5 x

Temos uma função trigonométrica que já vimos milhões de vezes... é uma função periódica e contínua.

Com isso provamos que como g e h são contínuas, f = g h tambem é contínua.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora temos que determinar o domínio da função.

f ( x ) = e x sin ⁡ 5 x

Como vimos no passo 1, o domínio de uma função nada mais é do que o conjunto de valores eu x pode assumir para a função ser definida...

Como f é uma função que depende de e x e sin ⁡ 5 x e no passo anterior vimos que x pode assumir qualquer valor em ambas as funções, podemos dizer que o domínio da função f são todos os valores reais...

Escrevendo isso de forma matemática, temos

D o m f x = x ∈ R

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

D o m f x = x ∈ R

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