Enunciado

Para quais valores da constante c a função   g é contínua em - ∞ , ∞ ?

g ( x ) = x 2 - c 2   ,   s e   x < 4 c x + 20 ,   s e   x ≥ 4

Passo 1

Olá, amigo. Vamos dar início a mais uma resolução. Temos aqui uma atividade que nos pergunta para quais valores de c , sendo ela uma constante, a função denotada por duas equações, é continua para todos os números reais - ∞ , ∞ .

Para resolvermos essa atividade devemos prestar atenção nas condições para continuidade das funções,

Uma função é continua em um número a se

lim x → a ⁡ f x = f a

Devo prestar atenção também a alguns teoremas que dizem quais tipos de funções são contínuas em todo o seu domínio, como as funções polinomiais, e no nosso caso, deveremos ter mais atenção ao ponto de junção das duas equações que compõem nossas funções polinomiais, pois por serem ambos polinômios, é o único ponto que pode nos dar problema aqui.

Então deveremos calcular os limites laterais, assim como também deveremos calcular o valor da função no ponto x = 4 , e tanto os limites laterais, quanto o valor da função deve ser igual.

lim x → 4 - ⁡ g ( x ) = lim x → 4 + ⁡ g ( x ) = g ( 4 )

Passo 2

Para g ( x ) ser contínua no ponto x = 4 , temos que:

lim x → 4 ⁡ g ( x ) exista, isso quer dizer que lim x → 4 + ⁡ g ( x ) = lim x → 4 - ⁡ g ( x ) = lim x → 4 ⁡ g ( x )

E ainda que g ( 4 ) = lim x → 4 ⁡ g ( x ) .

Usaremos a primeira condição para calcular c :

Lembre-se que para x ≥ 4 , temos g ( x ) =   c x + 20 , então usaremos essa expressão no cálculo do limite à direita de 3 :

lim x → 4 + ⁡ g ( x ) = l i m x → 4 + c x + 20 = 4 c + 20

Da mesma forma, pensaremos para x < 4 , mas temos outra expressão, que é g ( x ) =   x 2 - c 2 , usaremos essa expressão no limite à esquerda de 4:

lim x → 4 - ⁡ g ( x ) = l i m x → 4 + ( x 2 - c 2 ) = 16 - c 2

Não esqueça o que deve ocorrer para essa função ser contínua. Lembra?

Os limites laterais têm de ser iguais:

Igualando-os:

4 c + 20 = 16 - c 2

c 2 + 4 c + 4 = 0

Δ = 16 - 4 1 4

Δ = 0

c = - 4 2 = - 2

Passo 3

Agora também precisamos conferir se:

g 4 = lim x → 4 ⁡ g ( x )

O limite, encontramos substituindo c = 2 em qualquer uma das duas equações:

lim x → 4 ⁡ x 2 - 4 = g 4

Para

g 4 = - 2 x + 20

Então:

- 2 ( 4 ) + 20 = 16 - 4

12 = 12

Isso significa que para todos os valores reais teremos que a proposição:

lim x → a ⁡ g ( x ) = g ( a )

É verdadeira, desde que:

c = - 2

Resposta

c = - 2

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = cos ⁡ x , x00 , x = 01 - x 2 , x0 ,a = 0