Enunciado

Use a continuidade para avaliar o limite.

lim x → 1 ⁡ l n 5 - x 2 1 + x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos avaliar o limite:

lim x → 1 ⁡ l n 5 - x 2 1 + x

Usando a continuidade.

Ou seja, vamos precisar avaliar a continuidade da função que está dentro do limite:

f x = ln ⁡ 5 - x 2 1 + x

e depois que mostrarmos que a função é contínua, podemos resolver o limite substituindo o valor para o qual x está tendendo.

Pra avaliar a continuidade vamos precisar lembrar que os tipos de funções:

- polinômios

- logarítmicas

São contínuas em todo seu domínio.

E também lembrar que a composição de funções contínuas também é contínua.

Passo 2

Olhando pra função:

f x = ln ⁡ 5 - x 2 1 + x

Repara primeiro dentro do ln... Temos a composição de duas funções do tipo polinômio.

Como polinômios são funções contínuas, então a composta entre as duas será contínua também... Maaaas só tem o detalhe que a de baixo não pode ser igual a zero, certo?

1 + x ≠ 0

x ≠ 1

Então 5 - x 2 1 + x é continua em todos os reais, exceto quando x = 1 .

Passo 3

Agora vamos analisar a função ln... Como é uma função logarítmica, sabemos que ela é contínua em todo o seu domínio...

Pra achar o domínio do ln temos que garantir que o que está dentro dele seja maior que zero:

5 - x 2 1 + x > 0

5 - x 2 > 0

x 2 < 5

Vamos tirar a raiz dos dois lados, maaas lembra que quando tiramos raiz de um número ao quadrado, ele pode ser positivo ou negativo, então representamos ele como módulo:

x < 5

E na inequação quando aparece o módulo, podemos escrever como:

- 5 < x < 5

Maaas já sabemos que o - 1   não pode pra não ter divisão por zero, então o domínio fica:

D m = - 5 , - 1 ∪ - 1 , 5

E como a função logarítmica é contínua em seu domínio e a função de dentro também vimos, no passo anterior, que é contínua, então a composta também vai ser contínua no seu domínio (que acabamos de achar). E o valor 1 pertence ao seu domínio.

Passo 4

Como mostramos que a função é contínua e 1 pertence ao domínio, então agora é só calcular o limite substituindo o valor:

lim x → 1 ⁡ f x = f 1

= ln ⁡ 5 - 1 2 1 + 1

= ln ⁡ 2

Resposta

ln ⁡ 2

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