Enunciado

Em uma floresta, um predador alimenta-se de sua presa, e a população de predadores em qualquer época é uma função do número de presas naquele momento. Suponha que quando há x presas na floresta, a população de predadores é y = 1 6 x 2 + 90 . Além disso, se t semanas tiverem se passado até o final da temporada de caça, x = 7 t + 85 . A que taxa a população de predadores estará crescendo 8 semanas depois que a temporada de caça terminou? Não expresse y em termos de t , mas use a regra da cadeia.

Passo 1

Esse é um exercício típico de aplicação da regra da cadeia. Note que y é função de x que, por sua vez, é função de t . Assim, y é na verdade uma função de t , isto é, y t = y ( x t ) . Poderíamos exprimir diretamente y como função do tempo substituindo uma função na outra:

y t = 1 6 x t 2 + 90 = 1 6 7 t + 85 2 + 90

E daí poderíamos derivar y com relação ao tempo diretamente, mas a questão pede que não façamos isso. Para contornar esse problema, vamos recorrer a boa e velha regra da cadeia!

Passo 2

Relembrando a regra de cadeia, se tivermos uma função composta do tipo y = y x t , sua derivada com relação ao tempo será

y ' = y ' x t ⋅ x ' t

No nosso caso, queremos a taxa de variação de y quando t = 8 , isto é, y ' ( 8 ) . Assim,

y ' = y ' x 8 ⋅ x ' 8

Basta calcular essas derivadas nos respectivos pontos e o problema está resolvido!

Passo 3

Vamos achar primeiro y ' x . Derivando y x = 1 6 x 2 + 90 usando a regra do tombo:

y ' x = 1 6 ⋅ 2 x + 0 = x 3

Como x 8 = 7 ⋅ 8 + 85 = 56 + 85 = 141 , temos que

y ' x 8 = y ' 141 = 141 3 = 47

Agora vamos encontrar x ' ( 8 ) . Derivando x t = 7 t + 85 , obtemos

x ' t = 7 ⋅ 1 + 0 = 7

Assim, x ' 8 = 7 . Portanto, chegamos finalmente que

y ' = y ' x 8 ⋅ x ' 8 = 47 ⋅ 7 = 329

Resposta

329 predadores/semana.

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