Enunciado

Dado um hemisfério H e uma parte P de um paraboloide, suponha que F → seja um campo vetorial sobre R ³ cujas componentes tenham derivadas parciais contínuas. Explique por que

∬ H r o t   F → ⋅   d S → = ∬ P r o t   F → ⋅   d S →

Passo 1

Olá, tudo bem? Se você olhar o teorema 3 do livro vai ver o seguinte:

∬ S 1 r o t   F → ⋅   d S → = ∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S 2 r o t   F → ⋅ d S →

Se S 1 e S 2 são suas superfícies orientadas com a mesma curva de fronteira C .

Então precisamos ver se as nossas regiões possuem a mesma equação de fronteira.

Passo 2

No nosso caso, essas duas regiões são o hemisfério H   ( x 2 + y 2 + z 2 = 4 ) e a parte do paraboloide P   ( z = 4 - x 2 - y 2 ) , que no plano x y   ( c o m   z = 0 ) possuem a mesma equação de fronteira: x 2 + y 2 = 4 , como podemos ver no desenho.

Show! Então essas duas regiões satisfazem a equação do passo 1 :

∬ H r o t   F → ⋅   d S → = ∫ C F → ⋅ d r → = ∬ P r o t   F → ⋅ d S →

Resposta

∬ H r o t   F → ⋅   d S → = ∫ C F → ⋅ d r → = ∬ P r o t   F → ⋅ d S →

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Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando, em cada caso, a orientação da curva C . ∮ C 8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3 Onde C é a fronteira do
Seja C a circunferência de raio a , no plano 2 x + 2 y + z = 4 , centrada no ponto 1 ; 2 ; - 2 . Se F x , y , z = y - x; z - x; x - y , determine o valor de a para que: ∮ C Fd r = - 8 3 π .
Calcule ∬ S r o t F →. n →d s Onde F x , y , z = x - x 2 z ; y z 3 - y 2 ; x 2 y - x z e S é qualquer superfície cuja borda seja uma curva fechada no plano x y .
Calcule ∬ S r o t F →. n →d s , onde F x , y , z = 2 x y; 0;- x z e S é a superfície do elipsóide: x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1
Calcule ∫ C Fd r , Onde: F x , y , z = e - y - z e - x; e - z - x e - y; e - x - y e - z E C é a curva parametrizada: σ t = ln ⁡ 1 + t ln ⁡ 2; sin ⁡ π t 2; 1 - e t 1 - e Com 0 ≤ t ≤ 1 .