Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 11
- Use o Teorema de Stokes para calcular onde
e é a curva da intersecção do plano com o cilindro com orientação no sentido anti-horário quando visto de cima.
- Trace o gráfico do plano e do cilindro com domínios escolhidos de forma a ver a curva e a superfície que você usou na parte .
- Determine as equações paramétricas para e use-as para traçar o gráfico de .
e é a curva da intersecção do plano com o cilindro com orientação no sentido anti-horário quando visto de cima.
Passo 1
Oi galera, tudo bem? A curva de fronteira está no plano
Assim .
E o vetor normal a essa superfície vai ser :
Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano é um círculo de raio . Em coordenadas polares temos e os limites vão ser:
E o elemento de área vai ser:
Passo 2
Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de :
O produto escalar entre e fica:
Passo 3
Agora é colocar tudo na integral:
Passo 4
O gráfico do cilindro e do plano :
Passo 5
E com a curva de parametrização:
Para é:
Resposta
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Calcule: ∫ C 2 x y z + sin x d x + x 2 z + e y d y + x 2 y + 1 z d z Onde C é a curva parametrizada por: σ t = cos 3 t; sin 2 t ; t + 1 2 , 0 ≤ t ≤ π .
Calcule: ∫ C 4 x y - 3 x 2 z 2 d x + 2 x 2 d y - 2 x 3 zd z Onde C é a interseção da superfície: x 2 3 + y 2 4 + z 2 = 1 Com z ≥ 0 , com o plano y = 1 . Indique a orientação escolhida.
Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S → . F → x , y , z = 2 yc o s zi → + e xs e n zj → + x e y k → , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,z ≥ 0 , orientado para cima.
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