Enunciado

Calcule int_C F d r , Onde:

F (x , y , z) = (e^(- y) - z e^(- x) ; e^(- z) - x e^(- y) ; e^(- x) - y e^(- z))

E C é a curva parametrizada:

sigma (t) = ((ln (1 + t))/(ln 2) ; sin ((pi t)/(2)) ; (1 - e^t)/(1 - e))

Com 0 <= t <= 1 .

Passo 1

Aooouubaaa... Firme?? Bão tamem! Vamos partir pra cima dessa questãozinha aqui.

O enunciado não da nada pra gente tentar enxergar quem é a curva... então só nos resta tentar simplificar aquele F ali aplicando Stokes:

oint_C F d r = ∬_S r o t (vec F) . vec n d s

Com o campo podemos tentar achar o rotacional e com a parametrização da curva talvez a gente consiga brincar.

Vamos lá então; lembrando como achamos o rotacional:

r o t (vec F) = grad x vec F = |[[i,j,k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[F_1,F_2,F_3]]| = ((del F_3)/(del y) - (del F_2)/(del z) ; (del F_1)/(del z) - (del F_3)/(del x) ; (del F_2)/(del x) - (del F_1)/(del y))

Já deve ter cansado de ver isso né não?! Do campo que o enunciado nos deu:

F (x , y , z) = (underset(F_1)(ubrace e^(- y) - z e^(- x)) ; underset(F_2)(ubrace e^(- z) - x e^(- y)) ; underset(F_3)(ubrace e^(- x) - y e^(- z)))

Bora achar essas derivadas parciais aí então:

(del F_3)/(del y) - (del F_2)/(del z) = (- e^(- z)) - (- e^(- z)) = 0

(del F_1)/(del z) - (del F_3)/(del x) = (- e^(- x)) - (- e^(- x)) = 0

Já dá até pra prever o último né?!

(del F_2)/(del x) - (del F_1)/(del y) = (- e^(- y)) - (- e^(- y)) = 0

Como diria Deadpool.... “ô roteirozinho fraco!”

Nosso rotacional:

r o t (vec F) = (0 ; 0 ; 0)

Bom, o que isso significa pra gente?? Basicamente nos diz que:

oint_C F d r = ∬_S r o t (vec F) . vec n d s = 0

E quando isso acontece, temos duas afirmações a respeito do nosso campo vetorial:

  1. F (x , y , z) é um campo gradiente, ou seja, existe uma função f (x , y , z) tal que:
  2. Delta f (x , y , z) = F (x , y , z)

  3. O campo F é conservativo, ou seja:

int_C F d r = int_A^B F d r = f (B) - f (A)

Pegou a ideia?

Se a gente abrir o item (i), teremos o seguinte:

(del f (x , y , z))/(del x) = F_1 = e^(- y) - z e^(- x) (I)

(del f (x , y , z))/(del y) = F_2 = e^(- z) - x e^(- y) (I I)

(del f (x , y , z))/(del z) = F_3 = e^(- x) - y e^(- z) (I I I)

Passo 2

Agora repare que precisamos descobrir a real forma desse f para resolvermos a questão. Então se a gente integrar algum daqueles carinhas talvez obtenhamos algo; vamos ver:

Integrando (I) em x :

int del f (x , y , z) = int (e^(- y) - z e^(- x)) d x

Teremos:

f (x , y , z) = x e^(- y) - (- z e^(- x)) + R (y , z)

A gente admite que possa existir algo em termos de y e z que não aparecem quando a gente deriva isso em termo de x .

Beleza, mas então se essa for a real forma da nossa f , ao derivarmos ela em relação a y é de se esperar que vamos obter F_2 . Vamos verificar se isso vale:

(del f (x , y , z))/(del y) = - x e^(- y) + 0 + R^' (y , z) = F_2

E como o nosso F_2 = e^(- z) - x e^(- y) :

- x e^(- y) + 0 + R^' (y , z) = e^(- z) - x e^(- y)

Note que isso só será verdade se:

R^' (y , z) = e^(- z)

Integrando isso:

int R^' (y , z) = int e^(- z) d y

Ficaremos com:

R (y , z) = y e^(- z) + G (z)

Novamente, temos que admitir a possibilidade de existir algo em função de z que some ao derivarmos em relação a y .

Portanto a nova forma da nossa função até agora é:

f (x , y , z) = x e^(- y) + z e^(- x) + y e^(- z) + G (z)

Seguindo na mesma ideia, se essa equação for verdadeira, ao derivarmos em relação a z esperamos obter F_3 :

(del f (x , y , z))/(del z) = 0 + e^(- x) - y e^(- z) + G^' (z) = F_3

Ou seja:

0 + e^(- x) - y e^(- z) + G^' (z) = e^(- x) - y e^(- z)

E isso só será válido se:

G^' (z) = 0

Huuummmm então G (z) = c o n s t a n t e .

Então no final das contas a verdadeira forma da nossa f é:

f (x , y , z) = x e^(- y) + z e^(- x) + y e^(- z)

Passo 3

Show dibola... Agora tem um detalhe, o enunciado nos deu a seguinte parametrização:

sigma (t) = {[[x,=,(ln (1 + t))/(ln 2)],[y,=,sin ((pi t)/(2))],[z,=,(1 - e^t)/(1 - e)]])

Então o que precisamos fazer é reescrever a nossa f somente em termo de t :

f (t) = (ln (1 + t))/(ln 2) e^(- sin ((pi t)/(2))) + (1 - e^t)/(1 - e) e^(- (ln (1 + t))/(ln 2)) + sin ((pi t)/(2)) e^(- (1 - e^t)/(1 - e))

Caaraacaa mlk... Que que issoo...?!

Feião demais né... mas a gente não precisa nem perder tempo tentando simplificar, quebrando a cabeça só pra ficar mais apresentável...

Isso porque o enunciado nos disse que: 0 <= t <= 1

E como a gente disse que esse nosso campo é conservativo:

int_C F d r = int_A^B F d r = f (B) - f (A)

A gente só precisa substituir A = 0 e B = 1 ; olha só:

f (A) = f (0) = (ln 1)/(ln 2) e^(- sin 0) + (1 - 1)/(1 - e) e^(- (ln 1)/(ln 2)) + sin 0 e^(- (1 - 1)/(1 - e))

Já tava ruim, agora parece que piorou... Mas calma-lá, repare que várias coisas ali vão sumir:

f (A) = 0 + 0 + 0 = 0

E agora em B :

f (B) = f (1) = (ln 2)/(ln 2) e^(- sin (pi)/(2)) + (1 - e^1)/(1 - e) e^(- (ln 2)/(ln 2)) + sin (pi)/(2) e^(- (1 - e^1)/(1 - e))

Mesma ideia, varias coisinhas somem:

f (B) = (1)/(e) + (1)/(e) + (1)/(e) = 3 e^(- 1)

E finalmente grazadeus:

int_C F d r = 3 e^(- 1) - 0 = 3 e^(- 1)

Ufa... é isso então.

Resposta

Concluimos que:

int_C F d r = 3 e^(- 1)

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