Enunciado

Calcule ∫ C F   d r , Onde:

F x , y , z = e - y - z e - x   ; e - z - x e - y   ; e - x - y e - z

E C é a curva parametrizada:

σ t = ln ⁡ 1 + t ln ⁡ 2   ; sin ⁡ π t 2   ; 1 - e t 1 - e

Com 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1

Aooouubaaa... Firme?? Bão tamem! Vamos partir pra cima dessa questãozinha aqui.

O enunciado não da nada pra gente tentar enxergar quem é a curva... então só nos resta tentar simplificar aquele F ali aplicando Stokes:

∮ C F   d r = ∬ S r o t F →   .     n →   d s

Com o campo podemos tentar achar o rotacional e com a parametrização da curva talvez a gente consiga brincar.

Vamos lá então; lembrando como achamos o rotacional:

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Já deve ter cansado de ver isso né não?! Do campo que o enunciado nos deu:

F x , y , z = e - y - z e - x ⏟ F 1   ; e - z - x e - y ⏟ F 2   ; e - x - y e - z ⏟ F 3

Bora achar essas derivadas parciais aí então:

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = - e - z - - e - z = 0

∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = - e - x - - e - x = 0  

Já dá até pra prever o último né?!

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - e - y - - e - y = 0

Como diria Deadpool.... “ô roteirozinho fraco!”

Nosso rotacional:

r o t F → = 0   ; 0 ; 0

Bom, o que isso significa pra gente?? Basicamente nos diz que:

∮ C F   d r = ∬ S r o t F →   .     n →   d s = 0

E quando isso acontece, temos duas afirmações a respeito do nosso campo vetorial:

  1. F x , y , z é um campo gradiente, ou seja, existe uma função f x , y , z tal que:
  2. ∆ f x , y , z = F x , y , z

  3. O campo F é conservativo, ou seja:

∫ C F   d r = ∫ A B F   d r = f B - f A

Pegou a ideia?

Se a gente abrir o item (i), teremos o seguinte:

∂ f x , y , z ∂ x = F 1 = e - y - z e - x       I

∂ f x , y , z ∂ y = F 2 = e - z - x e - y     I I

∂ f x , y , z ∂ z = F 3 = e - x - y e - z   I I I  

Passo 2

Agora repare que precisamos descobrir a real forma desse f para resolvermos a questão. Então se a gente integrar algum daqueles carinhas talvez obtenhamos algo; vamos ver:

Integrando I em x   :

∫ ∂ f x , y , z = ∫ e - y - z e - x d x

Teremos:

f x , y , z = x e - y - - z e - x + R y , z

A gente admite que possa existir algo em termos de y e z que não aparecem quando a gente deriva isso em termo de x .

Beleza, mas então se essa for a real forma da nossa f , ao derivarmos ela em relação a y é de se esperar que vamos obter F 2 . Vamos verificar se isso vale:

∂ f x , y , z ∂ y = - x e - y + 0 + R ' y , z = F 2

E como o nosso F 2 = e - z - x e - y     :

- x e - y + 0 + R ' y , z = e - z - x e - y    

Note que isso só será verdade se:

R ' y , z = e - z

Integrando isso:

∫ R ' y , z = ∫ e - z   d y

Ficaremos com:

R y , z = y e - z + G z

Novamente, temos que admitir a possibilidade de existir algo em função de z que some ao derivarmos em relação a y .

Portanto a nova forma da nossa função até agora é:

f x , y , z = x e - y + z e - x + y e - z + G z

Seguindo na mesma ideia, se essa equação for verdadeira, ao derivarmos em relação a z esperamos obter F 3 :

∂ f x , y , z ∂ z = 0 + e - x - y e - z + G ' z = F 3

Ou seja:

0 + e - x - y e - z + G ' z = e - x - y e - z

E isso só será válido se:

G ' z = 0

Huuummmm então G z = c o n s t a n t e .

Então no final das contas a verdadeira forma da nossa f é:

f x , y , z = x e - y + z e - x + y e - z

Passo 3

Show dibola... Agora tem um detalhe, o enunciado nos deu a seguinte parametrização:

σ t = x = ln ⁡ 1 + t ln ⁡ 2 y = sin ⁡ π t 2 z = 1 - e t 1 - e

Então o que precisamos fazer é reescrever a nossa f somente em termo de t :

f t = ln ⁡ 1 + t ln ⁡ 2   e - sin ⁡ π t 2 + 1 - e t 1 - e   e - ln ⁡ 1 + t ln ⁡ 2 + sin ⁡ π t 2   e - 1 - e t 1 - e  

Caaraacaa mlk... Que que issoo...?!

Feião demais né... mas a gente não precisa nem perder tempo tentando simplificar, quebrando a cabeça só pra ficar mais apresentável...

Isso porque o enunciado nos disse que: 0 ≤ t ≤ 1

E como a gente disse que esse nosso campo é conservativo:

∫ C F   d r = ∫ A B F   d r = f B - f A

A gente só precisa substituir A = 0   e B = 1 ; olha só:

f A = f 0 = ln ⁡ 1 ln ⁡ 2   e - sin ⁡ 0 + 1 - 1 1 - e e - ln ⁡ 1 ln ⁡ 2 + sin ⁡ 0 e - 1 - 1 1 - e

Já tava ruim, agora parece que piorou... Mas calma-lá, repare que várias coisas ali vão sumir:

f A = 0 + 0 + 0 = 0

E agora em B :

f B = f 1 = ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 e - sin ⁡ π 2 + 1 - e 1 1 - e e - ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 + sin ⁡ π 2   e - 1 - e 1 1 - e

Mesma ideia, varias coisinhas somem:

f B = 1 e + 1 e + 1 e = 3   e - 1

E finalmente grazadeus:

∫ C F   d r = 3 e - 1 - 0 = 3 e - 1

Ufa... é isso então.

Resposta

Concluimos que:

∫ C F   d r = 3 e - 1

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