Enunciado

Dado que lim x → π 2 ⁡ tg ² ⁡ x = ∞ , ilustre a Definição 6 encontrando os valores de δ que correspondam a

  1. M = 1000
  2. M = 10000 .

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos utilizar da definição 6 para encontrar o δ para os valores de M que queremos.

Abaixo temos a definição 6:

Basicamente queremos encontrar uma distância δ para qual dado o valor de M no enunciado, nossa função seja maior que esse M . Isso é a definição do limite infinito, que dado um número M qualquer, a gente sempre conseguira ter f x > M .

Passo 2

Letra a)

Vamos analisar o gráfico da nossa função, iremos buscar então a distância δ com ajuda do gráfico. Lembre-se, precisamos descobrir qual distância entre o valor x que nesse caso é π 2 pois estamos nos aproximando de x → π 2 e M .

Buscamos posicionar as linhas verticais de modo que elas interceptem tan 2 ⁡ x em   y = M = 1000 , e a partir disso, iremos encontrar no eixo x a distância δ

tan 2 ⁡ x = 1000

x = arctan ⁡ 1 000 ≈ 1.53918408

A distância disso de   π / 2   ≈ 1.57079632679   é

δ = π 2 - arctan ⁡ 1 000 ≈ 0.031

tan 2 ⁡ x é simétrico em torno de   x   =   π / 2   , então há apenas um valor   δ .

π 2 - δ ≈ 1.539

coordenada (   x   ) do ponto (   F   )

π 2 + δ ≈ 1.602

coordenada (   x   ) do ponto (   G   ) . Então quando estamos chegando a π 2 mas estamos a uma distância de 0.031 de π 2 , teremos então o nosso M = 1000 .

Passo 3

Letra b)

O pensamento para a letra b) é semelhante, porém agora teremos um M diferente.

Vamos analisar o gráfico da nossa função, iremos buscar então a distância δ com ajuda do gráfico. Lembre-se, precisamos descobrir qual distância entre o valor x que nesse caso é π 2 pois estamos nos aproximando de x → π 2 e M .

Buscamos posicionar as linhas verticais de modo que elas interceptem tan 2 ⁡ x em   y = M = 1000 , e a partir disso, iremos encontrar no eixo x a distância δ

tan 2 ⁡ x = 100 0 0

x = arctan ⁡ 1 00 0 0 ≈ 1.5 6079666

A distância disso de   π / 2   ≈ 1.57079632679   é

δ = π 2 - arctan ⁡ 1 000 ≈ 0.01

tan 2 ⁡ x é simétrico em torno de   x   =   π / 2   , então há apenas um valor   δ .

π 2 - δ ≈ 1.5 61

coordenada (   x   ) do ponto (   F   )

π 2 + δ ≈ 1 . 581

coordenada (   x   ) do ponto (   G   ) . Então quando estamos chegando a π 2 mas estamos a uma distância de 0.01 de π 2 , teremos então o nosso M = 1 0 000 .

Resposta

  1. δ = 0,031
  2. δ = 0,01
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