Enunciado

Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.

f x =   2 x + 3 x - 2 ,                     ( 2 ,   ∞ )

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado fornece uma função e um intervalo e pede que mostremos que a função é contínua no intervalo.

Relembrando, uma função é contínua em um determinado ponto se o limite for igual ao valor da função no ponto. Para que ela seja contínua em todo o intervalo, ela deve ser continua em todos os pontos do intervalo.

Passo 2

O intervalo dado corresponde a x > 2 de modo que x = 2 não está incluído. Este seria o único ponto que pode causar algum tipo de problema pois a função não estaria definida já que o denominador seria zerado, que é uma indeterminação.

Passo 3

Vamos tomar a ∈ ( 2 ,   ∞ ) . Como a ≠ 2 , segue que

f a = 2 a + 3 a - 2

Calculemos agora o limite. Usando a propriedade do quociente:

lim x → a ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ 2 x + 3 x - 2 = lim x → a ⁡ 2 x + 3 lim x → a ⁡ x - 2

Como

lim x → a ⁡ 2 x + 3 = 2 a + 3

lim x → a ⁡ x - 2 = a - 2

Segue que

lim x → a ⁡ f ( x ) = 2 a + 3 a - 2  

Vemos então que lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) para um x = a arbitrário pertencendo ao intervalo ( 2 ,   ∞ ) . Como a é arbitrário e exclui o x = 2 , a relação vale para todos os pontos do intervalo, de modo que a função é contínua no intervalo todo.

Resposta

R: demonstração.

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