Dado (x_0, y_0) ∈ R^2 , mostrar que lim x → x 0 y → y 0 ⁡ y = y 0 .

Passo 1

Para resolver essa questão, precisamos mostrar que de acordo com a definição de limite:

Dado um ε > 0 existe δ > 0 tal que y - y 0 < ε sempre que 0 < ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 < δ .

Passo 2

Podemos dizer que:

y - y 0 ≤ ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2

Como 0 < ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 < δ , podemos dizer que:

y - y 0 ≤ δ

Passo 3

Assim, se tomamos δ = ε podemos dizer que:

y - y 0 ≤ ε

Sempre que 0 < ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 < δ .

Com isso provamos que:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ y = y 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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