Esboce o gráfico.

y = e^x - e^(3x)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Vamos então aplicar:

f ' x = e x - e 3 x ' = e x - e 3 x 3 x ' = e x - 3 e 3 x

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x :

e x - 3 e 3 x = 0 → x = - ln ⁡ 3 2

Temos que f ' x > 0 em:

- ∞ , - ln ⁡ 3 2

E f ' x < 0 em:

- ln ⁡ 3 2 , + ∞

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em - ∞ , - ln ⁡ 3 2

f é estritamente decrescente em - ln ⁡ 3 2 , + ∞

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f ' ' x :

f ' ' x = f ' f ' x = e x - 3 e 3 x ' = e x - 3 e 3 x ⋅ 3 = e x - 9 e 3 x

f ' ' x > 0 em todo x , tendo a concavidade voltada para cima.

Não possui ponto de inflexão.

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ e x - e 3 x = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ e x - e 3 x = 0

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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