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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart - 10.1 - 39

Deduza as Equações I para o caso π 2 < θ < π .

OBS:

As equações I são as equações paramétricas do cicloide dadas pos

x = r ( θ - sen ⁡ θ )

y = r ( 1 - cos ⁡ θ )

θ ∈ R

Passo 1

Bom, imagina lá nossa circunferência rodando na reta, fazendo a cicloide.

Imagina que ela já tenha andado uma θ > π 2 de modo que temos que arrumar outra forma pra parametrizar, diferente da que já está no livro.

A situação é a seguinte:

As coordenadas do nosso ponto P são

P = ( x , y )

E são elas que queremos descobrir, em função de r e θ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As coordenadas do nosso ponto P serão:

x = x C - P A

y = r + A C

Onde esse x C nada mais é do que a coordenada x do centro da circunferência.

Vamos matar logo isso e descobrir essa coordenada.

Se você parar pra pensar, o centro da circunferência vai estar a uma distância da origem exatamente igual a distancia que a nossa circunferência já andou.

E que distância é essa?

É o arco P x c .

E qual o comprimento de um arco de ângulo θ em uma circunferência de raio r ?

Isso mesmo, r θ . Portanto, a coordenada x c vale r θ .

Tranquilo, né?

Já matamos uma parte então.

Passo 3

Agora, vamos ampliar esse triângulo aí de dentro da circunferência:

Ta faltando descobrir o valor dos segmentos P A e A C .

Vamos usar relações fundamentais da trigonometria.

Isso aí é um triangulo retângulo, certo?

Então podemos dizer que

sin ⁡ π - θ = P A r

cos ⁡ ( π - θ ) = A C r

Daquelas relações lokonas que existem de cosseno e seno de ( a - b ) a gente pode tirar que:

sin ⁡ θ = P A r

cos ⁡ θ = - A C r

Dai temos que

P A = r sin ⁡ θ

A C = - r cos ⁡ θ

E PRONTO!

Descobrimos quem faltava!

Passo 4

Agora substituindo tudo em

x = x C - P A

y = r + A C

Temos

x = r θ - r sin ⁡ θ = r ( θ - sen ⁡ θ

y = r - r cos ⁡ θ = r ( 1 - cos ⁡ θ )

Que é exatamente aquilo que o enunciado dizia.

UFA, somo brabo, provamo tudo.

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