Enunciado

Compare as curvas representadas pelas equações paramétricas abaixo. Em que elas diferem?

  1. x = t 3     ;     y = t 2
  2. x = t 6     ;     y = t 4
  3. x = e - 3 t     ;     y = e - 2 t

Passo 1

Olá, meu amigo. Temos aqui 3 curvas parametrizadas.

x = t 3     ;     y = t 2

x = t 6     ;     y = t 4

x = e - 3 t     ;     y = e - 2 t

E precisamos comparar essas 3 curvas, e como iremos fazer isso?

O que vamos fazer aqui é colocar as curvas parametrizadas em coordenadas cartesianas, e após isso iremos comparar o comportamento das 3 curvas.

Para colocarmos as curvas em coordenadas cartesianas devemos isolar o t em uma das equações e colocar esse t na outra equação.

Passo 2

Bom, vamos tentar descobrir que curvas são essas pra poder comparar esses negócios.

Na curva da letra a nós podemos isolar o t na equação do y :

t = y

E depois substituir isso na equação do x :

x = y 3 = y 3 2

Que é o mesmo que

y = x 2 3

Beleza?

E essa é a equação cartesiana que as equações paramétricas da letra a representam.

Ok, agora vamos descobrir o que as outras equações paramétricas representam.

Na letra b temos:

x = t 6

y = t 4

Que se você reparar são exatamente as equações da letra a só que elevadas ao quadrado, ou seja, no fim das cotas elas vão representar a mesma equação cartesiana que na letra a , só que com uma diferença BÁSICA.

Como ela tá AO QUADRADO, ela representa apenas a parte positiva da função, beleza? Só com a parte em que x ≥ 0 , porque agora nossa função veio de uma equação paramétrica em que o

x = t 6 ≥ 0

Por conta do expoente par.

Então temos:

y = x 1 6 4 = x 4 6 = x 2 3

Porém apenas a parte positiva tanto para y quanto para x .

Passo 3

Agora aqui na letra c , as equações paramétricas parecem bem diferentes das outras, mas se você reparar, elas seguem a mesma lógica. Só que agora estão na base e .

Vamos usar o l n pra tentar isolar o t em x .

ln ⁡ x = ln ⁡ e - 3 t

Temos que:

ln ⁡ x = - 3 t ln ⁡ e

E

ln ⁡ e = 1

Então:

ln ⁡ x = - 3 t

t = - ln ⁡ x 3

Substituindo isso em y :

y = e - 2 t

y = e - 2 - ln ⁡ x 3

y = e 2 ln ⁡ x 3

Podemos reescrever:

y = e ln ⁡ x 2 3

E, da propriedade do logaritmo, quando a base é igual, o resultado é o logaritmando:

y = x 2 3

Chegamos exatamente na mesma equação cartesiana de sempre!

Só que dessa vez, o que vai acontecer é que nessa função, teremos que ela é gerada apenas com a parte de x > 0 , por conta do fato de termos usado o logaritmo pra isolar o t .

Então comparando as 3 , temos:

Para a parte a), a curva é y = x 2 3 .

Para a parte b), a curva é y = x 2 3 , x ≥ 0 , y ≥ 0 .

Para a parte c), a curva é y = x 2 3 , x > 0 , y > 0 .

Resposta

Para a parte a), a curva é y = x 2 3 .

Para a parte b), a curva é y = x 2 3 , x ≥ 0 , y ≥ 0 .

Para a parte c), a curva é y = x 2 3 , x > 0 , y > 0 .

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Trace a curvax = y - 3 y^3 + y^5
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Associe os gráficos das equações paramétricas x = f ( t ) y = g ( t ) Em a - ( d ) com as curvas paramétricas rotuladas de I - I V . Justifique.