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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 3ª Edição - Louis Leithold

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 3ª Edição - Louis Leithold - 9.3 - 43

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,   s e   n for um inteiro positivo maior do que 1.

Passo 1

Para resolver a integral vamos aplicar vamos fazer uma manipulação e aplicar a Identidade Trigonométrica.

∫ c o t n - 2 x cot 2 ⁡ x d x

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 ∙ 1 sin 2 ⁡ x

1 + cot 2 ⁡ x = csc 2 ⁡ x

∫ c o t n - 2 x csc 2 ⁡ x - 1 d x

∫ c o t n - 2 x csc 2 ⁡ x d x - ∫ c o t n - 2 x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos aplicar uma substituição e chamaremos u = cot ⁡ x

u = cot ⁡ x

d u = - csc 2 ⁡ x d x

∫ - u n - 2 d u - ∫ cot n - 2 ⁡ x d x

- u n - 1 n - 1 - ∫ cot n - 2 ⁡ x d x

- cot n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ cot n - 2 ⁡ x d x

Resposta

∫ cot n ⁡ x d x = - cot n - 1 ⁡ x n - 1 - ∫ cot n - 2 ⁡ x d x

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