Enunciado

Deduza as fórmulas para as funções posição e velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo com movimento uniformemente acelerado.

Passo 1

Bom galera, se uma partícula tiver aceleração constante em seu movimento ao longo de um eixo s , e se forem conhecidas sua posição e velocidade em um certo instante, digamos t = 0 , então é possível deduzir fórmulas para a posição s ( t ) e a velocidade v ( t ) em qualquer instante t .

Tendo essas condições, podemos integrar a ( t ) para obter v ( t ) e, por sua vez, integrar v ( t ) para obter s ( t ) :

v t = ∫ a t d t = a t + C 1

Para determinar a constante de integração C 1 , aplicamos a condição inicial t = 0   a essa equação:

v 0 = v ( 0 ) = a × 0 + C 1 = C 1

Substituindo isso na equação da velocidade:

v t = v 0 + a t

Como v 0 é constante, tem-se que:

s t = ∫ v t d t = ∫ ( v 0 + a t ) d t = v 0 t + 1 2 a t 2 + C 2

Para determinar a constante de integração C 1 , aplicamos a condição inicial t = 0   a essa equação:

s 0 = s 0 = v 0 × 0 + 1 2 a × 0 2 + C 2 = C 2

Como s é constante, tem-se que:

s 0 = s 0 + v 0 t + 1 2 a t 2

Prontinho!!

Resposta

v t = v 0 + a t

s 0 = s 0 + v 0 t + 1 2 a t 2

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1-24. a) Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. b) Se o leitor dispuses de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em a).
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