Enunciado

O que é uma curva integral de uma função f ? Qual é a relação entre duas curvas integrais quaisquer de uma função f ?

Passo 1

Fala, pessoal! Esse exercício envolve a parte mais inicial sobre integrais indefinidas e, pra isso, vamos relembrar algumas definições.

Pelo Teorema no item 5.2 . 2 (na página 323 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON), temos que a antiderivada, ou ainda, a integral indefinida de uma função f x em um intervalo aberto pode ser dada pela fórmula geral:

∫ f x d x = F x + C

Onde C é uma constante arbitrária. Portanto, para cada valor atribuído a essa constante, podemos conseguir uma função diferente, mas que também é a integral indefinida de f .

Passo 2

Dito isso, quando graficamos o resultado dessa integral, estamos graficando a denominada curva integral da função f .

Além disso, como não existe apenas uma integral indefinida, consequentemente não existe apenas uma curva integral da mesma função.

Logo, tomando duas dessas curvas integrais quaisquer, uma será a translação ou projeção da outra, visto que são diferenciadas apenas pelo valor da constante C , ou seja, elas terão a mesma forma, porém estarão deslocadas para cima ou para baixo uma em relação a outra.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use qualquer método para encontrar a área da região delimitada pelas curvas. y = 9 x 2 - 4 , y = 0 , x= 2
Use qualquer método para encontrar o volume do sólido gerado quando a região delimitada pelas curvas gira em torno do eixo y . y = ln ⁡ x , y = 0 , x= 5
Use qualquer método para encontrar a área da região delimitada pelas curvas. y = x ln ⁡ x , y = 0 , x= 4
Use um recurso gráfico computacional para gerar algumas curvas integrais representativas de f x = 5 x 4 - sec 2 ⁡ x ao longo do intervalo ( - π / 2 , π / 2 ) .
Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ e a r c t g x 1 + x 2d x