Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 15
Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil
D é limitada por , .
Passo 1
Temos um problema de integração em uma região geral. Nesta questão, precisamos esboçar a nossa região como sendo tanto do tipo 1 quanto do tipo 2.
Uma região do tipo 1 é uma região limitada acima e abaixo por uma curva, além disto, é limitada lateralmente por retas verticais. Portanto, o seu domínio é:
Já uma região do tipo 2 é o contrário. É uma região limitada lateralmente por curvas, mas acima e abaixo por retas horizontais. Portanto, temos o seguinte domínio:
Vamos começar por esboçar o gráfico da nossa região. Posteriormente, vamos escrever cada uma das regiões.
Passo 2
Primeiramente, vamos esboçar a nossa região. Portanto,
As duas curvas se intersectam nos pontos em que:
Portanto, no ponto e no ponto .
Passo 3
Agora podemos começar a escrever a nossa região. Como a região do tipo I é limitada acima por uma curva e abaixo por outra, temos um problema para a nossa região. Isto decorre do fato de termos 2 curvas distintas na parte inferior da região!
Por causa disto, precisamos separar a nossa região D em duas partes, uma parte à esquerda de e outra à direita de , pois este é o ponto em que há uma mudança na parte inferior da região. Portanto, seja a região à esquerda, temos:
Já os limites laterais são . Já para a região à direita, temos:
E os limites laterais são . Portanto, a nossa integral é:
Passo 4
Vamos escrever agora a nossa região como uma região do tipo II. Como ela é limitada a esquerda apenas por uma curva e a direita apenas por outra curva, podemos definir esta região como um todo. Portanto, temos:
Acima ela é limitada pela reta (se resume a um ponto) e abaixo por outra reta . Observem que estas retas são dadas pelos pontos de interseção das curvas. Portanto, a nossa integral é:
Passo 5
A forma mais fácil de resolver esta integral é a partir da região do tipo II, pois conseguimos descrever em função de apenas uma integral. Portanto, resolvendo-a,