Enunciado

  1. Defina todos os vetores v tal que
  2. 1,2 , 1 × v =   3,1 , - 5

  3. Explique por que não há nenhum vetor v tal que

1,2 , 1 × v =   3,1 , 5

Passo 1

  1. Vamos pegar um vetor genérico, tipo v = x , y , z .
  2. A gente precisa achar x , y   e   z de um jeito que

    1,2 , 1 × x , y , z =   3,1 , - 5

    Produto vetorial a gente acha pelo determinante né? Vamos lá então...

    det ⁡ i j k 1 2 1 x y z = i 2 1 y z - j 1 1 x z + k 1 2 x y

    = 2 z - y i - z - x j + y - 2 x k

    Pra isso dar o valor que a gente quer, vamos igualar...

    2 z - y = 3

    x - z = 1

    y - 2 x = - 5

    Passo 2

    A gente tem que resolver esse sisteminha aí agora...

    Da primeira, a gente tira:

    y = 2 z - 3

    Da segunda:

    x = 1 + z

    Aí a gente substitui na última:

    2 z - 3 - 2 - 2 z = - 5

    - 5 = - 5

    Ou seja, o sistema dá certo para qualquer z se y = 2 z - 3 e x = 1 + z .

    O vetor v então é qualquer um que seja da forma:

    v = ( 1 + z ,   2 z - 3 ,   z )

    Passo 3

  3. Nessa é o mesmo procedimento da outra, ficaria um sistema assim:

2 z - y = 3

x - z = 1

y - 2 x = 5

Aí a gente isola na primeira e segunda e testa na terceira de novo...

x = 1 + z

y = 2 z - 3

2 z - 3 - 2 - 2 z = 5

- 5 = 5

Como isso é falso, o sistema não tem solução. Ou seja, não existe nenhum vetor v que satisfaça a essa condição.👋

Resposta

  1. v = ( 1 + z ,   2 z - 3 ,   z )
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