Enunciado

28. Demonstre que int_a^b x^2 d x = (b^3 - a^3)/(2) .

Passo 1

Eaeee, belezinha?! Bom... a questão foi bem direta aqui.

Aqui temos que demostrar que:

int_a^b x^2 d x = (b^3 - a^3)/(2)

Para isso podemos usar o teorema 4, que diz que: Se for integrável em [ a , b ] então:

int_a^b f (x) d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n f (x_i) Delta x

Onde:

Delta x = (b - a)/(n)

x_i = a + i Delta x

Vamos lá?! 😉

Passo 2

Aplicando o teorema na nossa função, ficamos com:

int_a^b x^2 d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n (x_i)^2 Delta x

Nosso Delta x = (b - a)/(n) e x_i = a + i (b - a)/(n) .

int_a^b x^2 d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n (a + i (b - a)/(n))^2 ((b - a)/(n))

Passo 3

Vamos calcular o somatório primeiro.

sum_(i = 1)^n (a + i (b - a)/(n))^2 ((b - a)/(n)) = ((b - a)/(n)) sum_(i = 1)^n (a + i (b - a)/(n))^2

= ((b - a)/(n)) sum_(i = 1)^n (a^2 + 2 a i (b - a)/(n) + (i (b - a)/(n))^2)

= ((b - a)/(n)) sum_(i = 1)^n (a^2 + i (2 a ( b - a ))/(n) + i^2 ((b - a)/(n))^2)

= ((b - a)/(n)) (sum_(i = 1)^n a^2 + sum_(i = 1)^n i (2 a ( b - a ))/(n) + sum_(i = 1)^n i^2 ((b - a)/(n))^2)

= ((b - a)/(n)) (a^2 overset(I)(obrace sum_(i = 1)^n 1) + (2 a ( b - a ))/(n) overset(I I)(obrace sum_(i = 1)^n i) + ((b - a)/(n))^2 overset(I I I)(obrace sum_(i = 1)^n i^2))

Agora precisamos resolver esses somatórios!!

Passo 4

Aqui usamos as fórmulas:

overset(I)(obrace sum_(i = 1)^n 1) = n

overset(I I)(obrace sum_(i = 1)^n i =) (n ( n + 1 ))/(2)

overset(I I I)(obrace sum_(i = 1)^n i^2) = (n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ))/(6)

Substituindo as fórmulas acima, ficamos com:

= ((b - a)/(n)) (a^2 n + (2 a ( b - a ))/(n) * (n (n + 1))/(2) + ((b - a)/(n))^2 * (n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ))/(6))

= ((b - a)/(n)) (a^2 n + (2 a ( b - a ) (n + 1))/(2) + ((b - a)^2)/(n^2) * (n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ))/(6))

= ((b - a)/(n)) (a^2 n + (2 a (b - a) (n + 1))/(2) + ((b - a)^2)/(n) * ((n + 1) (2 n + 1))/(6))

= ( b - a ) (a^2 + (2 a (b - a) (n + 1))/(2 n) + (b - a)^2 * (((n + 1)/(n)) ((2 n + 1)/(n)))/(6))

= ( b - a ) (a^2 + (2 a (b - a) (1 + (1)/(n)))/(2) + (b - a)^2 * ((1 + (1)/(n)) (2 + (1)/(n)))/(6))

Primeira parte ok.

Passo 5

Podemos calcular o limite agora.

int_a^b x^2 d x = underset(n -> oo)(lim) ( b - a ) (a^2 + (2 a (b - a) (1 + (1)/(n)))/(2) + (b - a)^2 * ((1 + (1)/(n)) (2 + (1)/(n)))/(6))

= ( b - a ) (a^2 + (2 a (b - a) (1 + underset(n -> oo)(l i m) (1)/(n)))/(2) + (b - a)^2 * ((1 + underset(n -> oo)(l i m) (1)/(n)) (2 + underset(n -> oo)(l i m) (1)/(n)))/(6))

= ( b - a ) (a^2 + (2 a (b - a))/(2) + (b - a)^2 * (2)/(6))

= (b - a) ((6 a^2 + 6 a (b - a) + 2 (b - a)^2)/(6)) = ( b - a ) ((6 a^2 + 6 a b - 6 a^2 + 2 (b - a)^2)/(6))

= (b - a) ((6 a b + 2 (b - a)^2)/(6)) = (( b - a ) 3 a b + (b - a)^3)/(3)

= (3 b^2 a - 3 a^2 b + b^3 - 3 b^2 a + 3 b a^2 - a^3)/(3) = (b^3 - a^3)/(3)

Ou seja,

int_a^b x^2 d x = (b^3 - a^3)/(3)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Demonstração

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