Enunciado

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27. Demonstre que ∫ a b x d x = b 2 - a 2 2 .

Passo 1

Pessoal, aqui nós vamos utilizar a definição de integral, que nos diz o seguinte.

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Em que Δ x = b - a n e x i = a + i Δ x = a + i b - a n (utilizando as extremidades direitas).

Basta aplicar a fórmula na nossa função. Ficamos com:

∫ a b x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i Δ x

Nosso Δ x = b - a n e x i = a + i b - a n .

∫ a b x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n a + i b - a n b - a n

Passo 2

Vamos calcular o somatório primeiro.

∑ i = 1 n a + i b - a n b - a n = b - a n ∑ i = 1 n a + i b - a n = b - a n ∑ i = 1 n a ⏞ I + ∑ i = 1 n i b - a n ⏞ I I

Aqui usamos as fórmulas:

∑ i = 1 n a ⏞ I = a ∑ i = 1 n 1 = a n

∑ i = 1 n i b - a n ⏞ I I = b - a n ∑ i = 1 n i ⏟ n n + 1 2 = b - a n n n + 1 2 = b - a 2 n + 1

Substituindo acima, ficamos com:

b - a n ∑ i = 1 n a + ∑ i = 1 n i b - a n = b - a n a n + b - a 2 n + 1

= b - a a + b - a 2 n n + 1 = b - a a + b - a 2 1 + 1 n

= a b - a + b - a 2 2 1 + 1 n

Primeira parte ok.

Passo 3

Podemos calcular o limite agora.

∫ a b x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n a + i b - a n b - a n = lim n → ∞ ⁡ a b - a + b - a 2 2 1 + 1 n

= l i m n → ∞   a b - a + l i m n → ∞ b - a 2 2 1 + 1 n = a b - a + b - a 2 2 1 + l i m n → ∞ 1 n

= a b - a + b - a 2 2 ( 1 + 0 ) = 2 a b - a + b - a 2 2 = ( b - a ) ( 2 a + b - a ) 2  

= ( b - a ) ( b + a ) 2 = b 2 - a 2 2

Ou seja,

∫ a b x d x = b 2 - a 2 2

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