Enunciado

Demonstre que:

int_a^b x d x = (b^2 - a^2)/(2)

Passo 1

Eaeee, belezinha?! Bom... a questão foi bem direta aqui.

Aqui temos que demostrar que:

int_a^b x d x = (b^2 - a^2)/(2)

Para isso podemos usar o teorema 4, que diz que: Se for integrável em [ a , b ] então:

int_a^b f (x) d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n f (x_i) Delta x

Onde:

Delta x = (b - a)/(n)

x_i = a + i Delta x

Vamos lá?!

Passo 2

Como os nossos limites de integração são a e b , então:

Delta x = (b - a)/(n)

x_i = a + i Delta x = a + i (b - a)/(n)

Substituindo no teorema:

int_a^b x d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n [a + i ((b - a)/(n))] ((b - a)/(n))

Distribuindo o ((b - a)/(n)) , temos:

int_a^b x d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n [a ((b - a)/(n)) sum_(i = 1)^n [1] + ((b - a)/(n))^2 sum_(i = 1)^n [i]]

Passo 3

Resolvendo os somatórios, sabemos que:

sum_(i = 1)^n [1] = n

E

sum_(i = 1)^n [i] = (n (n + 1))/(2)

Assim, substituindo, temos:

int_a^b x d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n [a ((b - a)/(n)) (n) + ((b - a)^2)/(n^2) ((n (n + 1))/(2))]

Simplificando a expressão, temos:

int_a^b x d x = a (b - a) + underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n [((b - a)^2)/(2) (1 + (1)/(n))]

Passo 4

Resolvendo o limite, encontramos:

int_a^b x d x = a (b - a) + (1)/(2) (b - a)^2 :.

int_a^b x d x = (b - a) + a + (1)/(2) b - (1)/(2) a :.

int_a^b x d x = (b - a) (1)/(2) (b + a) :.

Pela diferença de quadrados, percebemos que:

int_a^b x d x = ((b^2 - a^2))/(2)

Prontinhoo! 😉

Resposta

Demonstração

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