Enunciado

Demonstre que:

∫ a b x d x = b 2 - a 2 2

Passo 1

Opa, bora pra mais uma questão?! Aqui temos que demostrar que:

∫ a b x d x = b 2 - a 2 2

Para isso podemos usar o teorema 4, que diz que: Se for integrável em [ a , b ] então:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Onde:

∆ x = b - a n

x i = a + i ∆ x

Vamos lá?!

Passo 2

Como os nossos limites de integração são a e b , então:

∆ x = b - a n

x i = a + i ∆ x = a + i b - a n

Substituindo:

∫ a b x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n a + i b - a n b - a n

Passo 3

Vamos calcular o somatório primeiro, usando as seguintes propriedades:

∑ i = 1 n c x i = c ∑ i = 1 n x i

∑ i = 1 n x i + y i = ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n y i

∑ i = 1 n c = n c

Assim:

∑ i = 1 n a + i b - a n b - a n = n a + b - a n 2 ∑ i = 1 n i

A fórmula geral para a soma dos primeiros n números inteiros positivos, também conhecida como a soma de uma série aritmética, é dada por:

∑ i = 1 n i = n n + 1 2

Então:

∑ i = 1 n a + i b - a n b - a n = n a + b - a n 2 n n + 1 2

Passo 4

Chegamos então em:

∫ a b x d x = l i m n → ∞   n a + b - a n 2 n n + 1 2

Vamos calcular esse limite, mas antes uma arrumadinha na expressão:

∫ a b x d x = l i m n → ∞   n a + b - a 2 n + 1 2 n

∫ a b x d x = l i m n → ∞   n a + b - a 2 2 + b - a 2 2 n

Calculando o limite:

l i m n → ∞   n a + b - a 2 2 + b - a 2 2 n = b - a 2 2

Então:

∫ a b x d x = b - a 2 2

Prontinhoo!

Resposta

Demonstração.

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