Enunciado

A função erro dada por

erf ⁡ x = 2 π ∫ 0 x e - t 2 d t

É muito usada em probabilidade, estatística e engenharia.

  1. Mostre que ∫ a b e - t 2 d t = 1 2 π erf ⁡ b - erf ⁡ a .
  2. Mostre que a função y = e x 2 erf ⁡ x satisfaz a equação diferencial y ' = 2 x y + 2 / π

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função erro:

erf ⁡ x = 2 π ∫ 0 x e - t 2 d t

Queremos mostrar que:

∫ a b e - t 2 d t = 1 2 π erf ⁡ b - erf ⁡ a

Para isso, precisaremos utilizar a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo:

Se f for contínua em a , b , então

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ' = f .

Em seguida, temos que mostrar que se

y = e x 2 erf ⁡ x

Então

y ' = 2 x y + 2 / π

Bora lá!! 😉

Passo 2

  1. Para demonstrar isso, vamos separar a integral ∫ a b e - t 2 d t em duas, para isso é só a gente fazer
  2. ∫ a b e - t 2 d t = ∫ a 0 e - t 2 d t + ∫ 0 b e - t 2 d t

    Agora, vamos deixar as duas integrais indo de 0 até o limite superior, para isso basta a gente fazer

    ∫ a b e - t 2 d t = - ∫ 0 a e - t 2 d t + ∫ 0 b e - t 2 d t

    Agora, vamos fazer o seguinte

    ∫ a b e - t 2 d t = - π 2 ⋅ 2 π ∫ 0 a e - t 2 d t + π 2 ⋅ 2 π ∫ 0 b e - t 2 d t

    Veja que dessa forma fizemos a função erro aparecer, então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

    ∫ a b e - t 2 d t = - π 2 erf ⁡ a + π 2 erf ⁡ b = π 2 [ erf ⁡ b - erf ⁡ a ]

    Passo 3

  3. Para provar isso, vamos primeiramente calcular a derivada da função y usando a regra da cadeia e a regra do produto, então

y ' = 2 x ⋅ e x 2 ⋅ erf ⁡ x + e x 2 erf' ⁡ ( x )

Precisamos agora calcular a derivada da função erro, podemos calcular pela parte 1 do teorema fundamental do calculo, que diz o seguinte:

Se

y = ∫ a x f t d t

Então

y ' = f ( x )

Daí, temos que

erf' ⁡ x = 2 π e - x 2

Substituindo em y ' ficamos com

y ' = 2 x ⋅ e x 2 ⋅ erf ⁡ x + e x 2 ⋅ e - x 2 ⋅ 2 π

y ' = 2 x y + 2 π

Resposta

Demonstração

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