Enunciado

Estime π com tantas casas decimais de precisão quantas sua calculadora permitir usando o método de Newton para resolver a equação t g   x   = 0   com x 0   =   3 .

Passo 1

Queremos estimar o valor de π utilizando o método de Newton, para isso utilizaremos a equação t g x = 0 tomando como ponto inicial x 0 = 3 . Lembrando que o método de Newton nos diz que para aproximarmos o valor de uma raiz utilizamos a seguinte fórmula

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Passo 2

Derivemos então nossa equação para substituirmos na fórmula acima

f x = t g x → f ' x = sec 2 ⁡ x  

Dessa forma, nós vamos obter

x n + 1 = x n - t g x n sec 2 ⁡ x n  

Para acharmos nossa primeira aproximação, faremos

x 0 + 1 = x 0 - t g x 0 sec 2 ⁡ x 0  

x 1 = 3 - t g 3 sec 2 ⁡ 3  

Tomando nossos ângulos em radianos, vamos obter

x 1 ≈ 3 . 13971

Agora, utilizaremos o valor de x 1 para obter uma outra aproximação mais próxima de π

x 1 + 1 = x 1 - t g x 1 sec 2 ⁡ x 1  

x 2 = 3.13971 - t g 3.13971 sec 2 ⁡ 3.13971  

x 2 ≈ 3.14159

Que já é uma boa aproximação para π .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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