Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9.

lim x → - 3 ⁡ 1 - 4 x = 13

Passo 1

Bom galerinha!

Já que a gente precisa fazer uma demonstração usando a definição de limite, vamos relembrar dessa definição.

Quando a gente tá falando de limite, não estamos no ponto x = a , nós estamos beeem pertinho dele. Mas sobre isso a gente já tá bem tranquilo ne?

Quão próximo de a deverá estar x para que f ( x ) difira de L por menos que uma tolerância ε bem pequeno ?

Em palavras mais fáceis e menos assustadoras, a gente tá dizendo que pra existir esse limite:

lim x → a ⁡ f x = L

A gente precisa provar o seguinte:

Que dado um pequeno intervalo L - ε   ,   L + ε ao redor de L , há de conseguir achar um valorzinho pra δ , que qualquer x dentro desse outro intervalinho ( a - δ , a + δ ) retorne na função um valor dentro do primeiro intervalo L - ε   ,   L + ε .

Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:

se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Agora aplicando isso na nossa expressão:

lim x → - 3 ⁡ 1 - 4 x = 13

se 0 < x - ( - 3 ) < δ então ( 1 - 4 x ) - 13 < ε

Agora nós precisamos achar δ > 0 que atenda essas condições!

Mas antes de começar, vamos ver o diagrama da figura 9 que o enunciado menciona. Nele da pra ver bem esses intervalos nos 2 eixos e essa história de que um x dentro de um intervalo tem que retornar um f ( x ) dentro do outro intervalo. Mas ignora esses números da figura, isso é só o exemplo que o livro usou.

Passo 2

Vamos agora simplificar isso:

1 - 4 x - 13 < ε  

- 4 x - 12 < ε

Abrindo o módulo:

- 4 x + 3 < ε

x + 3 < ε 4

Agora vamos transformar o 3 em -3:

x - ( - 3 ) < ε 4

Opa isso aqui tá bem parecido com aquilo que a gente queria encontrar hein, olha só!

A gente tava procurando um valor δ que atendesse à seguinte inequação:

0 < x - ( - 3 ) < δ

Pronto, achamos

δ < ε 4

Passo 3

Agora vamos fazer o caminho contrário.

Se nós escolhemos δ = ε 4 , e substituirmos seu valor, temos que:

0 < x - - 3 < δ

x - - 3 < ε 4

Reorganizando

4 x - - 3 < ε

4 x + 12 < ε

Agora vamos manipular mais um pouquinho pra aparecer o que a gente quer:

1 - 4 x - 13 < ε

Pronto, nosso valor qualquer x dentro do intervalinho ( a - δ , a + δ ) retornou na função um valor dentro do primeiro intervalo L - ε   ,   L + ε .

Uhuuulll!

Provamos que o limite existe!

lim x → - 3 ⁡ 1 - 4 x = 13

Passo 4

Aqui temos o diagrama, com os intervalos definidor nos dois eixos:

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ