Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.

x 6 - x 5 - 6 x 4 - x 2 + x + 10 = 0

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = x 6 - x 5 - 6 x 4 - x 2 + x + 10

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 6 - x 5 - 6 x 4 - x 2 + x + 10 ' = 6 x 6 - 1 - 5 x 5 - 1 - 6.4 . x 4 - 1 - 2 x 2 - 1 + x 1 - 1 + 0 = 6 x 5 - 5 x 4 - 24 x 3 - 2 x + 1

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 6 - x n 5 - 6 x n 4 - x n 2 + x n + 10 6 x n 5 - 5 x n 4 - 24 x n 3 - 2 x n + 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em x = - 1,9 , x = - 1,2 , x = 1,1 e x = 3 , pronto, agora é só substituir, vai ser cansativo, mas vamos lá:

Primeiro para x 1 = - 1,9 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 6 - x 1 5 - 6 x 1 4 - x 1 2 + x 1 + 10 6 x 1 5 - 5 x 1 4 - 24 x 1 3 - 2 x 1 + 1 = - 1,9 - - 1,9 6 - - 1,9 5 - 6 . - 1,9 4 - - 1,9 2 + - 1,9 + 10 6 . - 1,9 5 - 5 . - 1,9 4 - 24 . - 1,9 3 - 2 . - 1,9 + 1 ≈ - 1,94278290

Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 6 - x 2 5 - 6 x 2 4 - x 2 2 + x 2 + 10 6 x 2 5 - 5 x 2 4 - 24 x 2 3 - 2 x 2 + 1 = - 1,94278290 - - 1,94278290 6 - - 1,94278290 5 - 6 . - 1,94278290 4 - - 1,94278290 2 + - 1,94278290 + 10 6 . - 1,94278290 5 - 5 . - 1,94278290 4 - 24 . - 1,94278290 3 - 2 . - 1,94278290 + 1 ≈ - 1,93828380

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 6 - x 3 5 - 6 x 3 4 - x 3 2 + x 3 + 10 6 x 3 5 - 5 x 3 4 - 24 x 3 3 - 2 x 3 + 1 = - 1,93828380 - - 1,93828380 6 - - 1,93828380 5 - 6 . - 1,93828380 4 - - 1,93828380 2 + - 1,93828380 + 10 6 . - 1,93828380 5 - 5 . - 1,93828380 4 - 24 . - 1,93828380 3 - 2 . - 1,93828380 + 1 ≈ - 1,93822884

Ainda está variando, vamos agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 6 - x 4 5 - 6 x 4 4 - x 4 2 + x 4 + 10 6 x 4 5 - 5 x 4 4 - 24 x 4 3 - 2 x 4 + 1 = - 1,93822884 - - 1,93822884 6 - - 1,93822884 5 - 6 . - 1,93822884 4 - - 1,93822884 2 + - 1,93822884 + 10 6 . - 1,93822884 5 - 5 . - 1,93822884 4 - 24 . - 1,93822884 3 - 2 . - 1,93822884 + 1 ≈ - 1,93822883

Agora com x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 6 - x 5 5 - 6 x 5 4 - x 5 2 + x 5 + 10 6 x 5 5 - 5 x 5 4 - 24 x 5 3 - 2 x 5 + 1 = - 1,93822883 - - 1,93822883 6 - - 1,93822883 5 - 6 . - 1,93822883 4 - - 1,93822883 2 + - 1,93822883 + 10 6 . - 1,93822883 5 - 5 . - 1,93822883 4 - 24 . - 1,93822883 3 - 2 . - 1,93822883 + 1 ≈ - 1,93822883

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é - 1,93822883 .

Passo 4

Agora com x 1 = - 1,2 , vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 6 - x 1 5 - 6 x 1 4 - x 1 2 + x 1 + 10 6 x 1 5 - 5 x 1 4 - 24 x 1 3 - 2 x 1 + 1 ≈ - 1,22006245

Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 6 - x 2 5 - 6 x 2 4 - x 2 2 + x 2 + 10 6 x 2 5 - 5 x 2 4 - 24 x 2 3 - 2 x 2 + 1 ≈ - 1,21997997

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 6 - x 3 5 - 6 x 3 4 - x 3 2 + x 3 + 10 6 x 3 5 - 5 x 3 4 - 24 x 3 3 - 2 x 3 + 1 ≈ - 1,21997997

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é ≈ - 1,21997997 .

Passo 5

Agora com x 1 = 1,1 , sei que é cansativo mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 6 - x 1 5 - 6 x 1 4 - x 1 2 + x 1 + 10 6 x 1 5 - 5 x 1 4 - 24 x 1 3 - 2 x 1 + 1 ≈ 1,14111662

Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 6 - x 2 5 - 6 x 2 4 - x 2 2 + x 2 + 10 6 x 2 5 - 5 x 2 4 - 24 x 2 3 - 2 x 2 + 1 ≈ 1,13929741

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 6 - x 3 5 - 6 x 3 4 - x 3 2 + x 3 + 10 6 x 3 5 - 5 x 3 4 - 24 x 3 3 - 2 x 3 + 1 ≈ 1,13929375

Ainda está variando, vamos agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 6 - x 4 5 - 6 x 4 4 - x 4 2 + x 4 + 10 6 x 4 5 - 5 x 4 4 - 24 x 4 3 - 2 x 4 + 1 ≈ 1,13929375

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,13929375 .

Passo 6

Agora com x 1 = 3 , é o último, não desanime:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 2 - x 1 + 3 2 x 1 - 1 2 x 1 + 3 ≈ 2,99

Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 2 - x 2 + 3 2 x 2 - 1 2 x 2 + 3 ≈ 2,98984106

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 2 - x 3 + 3 2 x 3 - 1 2 x 3 + 3 ≈ 2,98984102

Ainda está variando, vamos agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 6 - x 4 5 - 6 x 4 4 - x 4 2 + x 4 + 10 6 x 4 5 - 5 x 4 4 - 24 x 4 3 - 2 x 4 + 1 ≈ 2,98984102

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 2,98984102 .

Resposta

As raizes da equação são 1,93822883 , - 1,21997997 , 1,13929375 e 2,98984102 .

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Esboce o gráfico. y = e x - e 3 x
Esboce o gráfico. y = x 3 x 2 - 1
Esboce o gráfico. f x = e - x 2
Esboce o gráfico. f x = x 3 - x 2 + 1
Esboce o gráfico. y = x 2 - 4