Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.8 - Ex. 23
Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.
Passo 1
Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
Primeiro temos que
Vamos agora precisar de , vamos calcular então!!
Passo 2
Para achar a derivada de vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:
Vamos calcular :
Passo 3
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em , , e , pronto, agora é só substituir, vai ser cansativo, mas vamos lá:
Primeiro para :
Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Ainda está variando, vamos agora com :
Agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 4
Agora com , vamos lá:
Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 5
Agora com , sei que é cansativo mas vamos lá:
Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Ainda está variando, vamos agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Passo 6
Agora com , é o último, não desanime:
Como queremos uma precisão de oito casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Ainda está variando, vamos agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é .
Resposta
As raizes da equação são , , e .