Enunciado

Prove que underset(x -> a)(lim) x ² = a ² , se a for qualquer número negativo.

Passo 1

Neste exercícios precisamos provar que a ² é o limite da função x ² quando x se aproxima de a . Para comprovar o limite temos que ter em mente a Definição 2.1.1 e mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um delta > 0 . Para começar vamos definir os valores de f (x) , a e L . Dada a definição de limite:

underset(x -> a)(lim) f ( x ) = L

Assumimos que:

f (x) = x ²

a = - a

L = (- a)^2 = a ²

Sendo assim:

0 < |x + a| < delta

|f (x) - a ²| < ϵ

Para encontrar um delta > 0 o primeiro passo é substituir f (x) na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f (x) :

|x ² - a ²| < ϵ

Fatorando:

|( x - a ) ( x + a )| < ϵ

Pela definição de módulo:

|(x - a) | | ( x + a )| < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

|x + a| < delta

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo |( x - a )| . Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição a delta , sendo assim podemos assumir que delta = 1 :

|x + a| < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x + a < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x + a ) subtraindo 2 a aos seus termos:

- 2 a - 1 < x - a < - 2 a + 1

Se a > (1)/(2) , então o intervalo será negativo e para este caso:

| - 2 a + 1 | < | x - a | < | - 2 a - 1 |

| - 2 a + 1 | < | x - a | < | - ( 2 a + 1 ) |

Sabendo que o módulo de um número negativo é igual ao positivo:

| - 2 a + 1 | < | x - a | < | ( 2 a + 1 ) |

Então:

| x - a | < 2 a + 1

Então

| x - a | < 2 a + 1 e |x + a| < delta

Substituindo :

|(x - a) | | ( x + a )| = delta . ( 2 a + 1 ) < ϵ

delta < (ϵ)/(2 a + 1)

Isso significa que devemos impor sobre delta duas restrições, delta <= 1 e delta <= (ϵ)/(2 a + 1) . Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números, em símbolos delta = min ( 1 , (ϵ)/(2 a + 1) )

Assim, estabelecemos que tendo escolhido delta = min ( 1 , (ϵ)/(2 a + 1) ) , para todo ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < |x + a| < delta

então

|f (x) - a ²| < ϵ

Isso prova que

underset(x -> a)(lim) x ² = a ²

Se a < (1)/(2) , então o intervalo superior será positivo e para este caso:

| - 2 a - 1 | < | x - a | < | - 2 a + 1 |

Então:

|x - a| < - 2 a + 1

Então

|x - a| < - 2 a + 1 e |x + a| < delta

Substituindo :

|(x - a) | | ( x + a )| = delta . ( - 2 a + 1 ) < ϵ

delta < (ϵ)/(- 2 a + 1)

Isso significa que devemos impor sobre delta duas restrições, delta <= 1 e delta <= (ϵ)/(- 2 a + 1) . Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números, em símbolos delta = min ( 1 , (ϵ)/(2 a + 1) )

Assim, estabelecemos que tendo escolhido delta = min ( 1 , (ϵ)/(- 2 a + 1) ) , para todo ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < |x + a| < delta

então

|f (x) - a ²| < ϵ

Isso prova que

underset(x -> a)(lim) x ² = a ²

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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