Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → a ⁡ c = c

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite usando a definição formal. A definição precisa de limite diz que lim x → a ⁡ f ( x ) = L se

“Para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x - L < ϵ

Não se assuste com esse monte de letra grega, esses vários módulos e essa linguagem rebuscada, o que devemos fazer é mais simples do que todo esse “matematiquês” faz parecer...

O que devemos fazer é achar uma relação para δ (em função de ϵ ) tal que a primeira afirmação ( 0 < x - a < δ ) implique na segunda ( f x - L < ϵ ).

Então, basicamente, o limite nos diz para onde a função está indo à medida que nos aproximamos de um ponto específico, mesmo que ela possa nunca realmente chegar lá. É como se estivéssemos observando o comportamento da função bem de perto, mas sem realmente atingir aquele ponto exato.

E é isso que vamos fazer de forma geral, ao chegarmos perto de um ponto:

0 < x - a < δ

Isso implicará que nossa função chegar perto de um número:

f x - L < ϵ

Passo 2

Neste passo vamos conjecturar um valor para δ como se estivéssemos fazendo um esboço.

Seja ϵ > 0 um número dado, devemos achar δ > 0 tal que

se

0 < x - a < δ

então

c - L < ϵ

Como neste caso L = c , devemos achar δ tal que

Se

0 < x - a < δ

Então

c - c < ϵ

Assim, devemos achar δ > 0 tal que

se

0 < x - a < δ

então

0 < ϵ

Como ϵ > 0 por definição, qualquer escolha para δ > 0 serve!!! Por simplicidade, escolherei δ = ϵ .

Passo 3

Tomando δ = ϵ , temos que se

0 < x - a < δ

então

δ = ϵ > 0

(ou c - c < ϵ ).

Assim, para todo

ϵ > 0

existirá um

δ > 0

que satisfaça a definição (a primeira afirmação implica na segunda).

Resposta

Demonstração.

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