Enunciado

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função.

f x = x 2 - x x 2 - 1 ,     x ≠ 1 1 ,     x = 1 ,               a = 1

Passo 1

O enunciado fornece uma função f e um ponto x = a e pede para justificarmos o motivo de f não ser contínua nesse ponto.

Uma função é contínua em um ponto se ela estiver definida nesse ponto e, além disso, o valor da função neste ponto coincidir com o valor do limite. Assim, devemos calcular tanto o limite como o valor da função em x = a e compará-los.

Passo 2

Vamos calcular o limite de f quando x tende a 1 . Quando tomamos o limite, nos aproximamos de x = a = 1 por valores de x próximos de 1 porém nunca iguais a 1 . Então, a expressão que devemos usar para o limite é x 2 - x x 2 - 1 .

Note que temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para eliminá-la, vamos fatorar o numerador e o denominador.

x 2 - x = x   x - 1

x 2 - 1 = x - 1 ( x + 1 )

Assim, o limite fica

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = lim x → 1 ⁡ x 2 - x x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ x   ( x - 1 ) x - 1   ( x + 1 )

Como x ≠ 1 quando tomamos o limite, podemos simplificar o fator ( x - 1 ) de modo que o limite fica

lim x → 1 ⁡ f x = lim x → 1 ⁡ x x + 1 = 1 1 + 1 = 1 2

Como f 1 = 1 ≠ lim x → 1 ⁡ f x , a função não é contínua em x = a = 1 .

Passo 3

O esboço do gráfico da função é:

Resposta

R: demonstração e esboço de gráfico.

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