Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → a ⁡ c = c

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite usando a definição formal. A definição precisa de limite diz que lim x → a ⁡ f ( x ) = L se

“Para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x - L < ϵ

Não se assuste com esse monte de letra grega, esses vários módulos e essa linguagem rebuscada, o que devemos fazer é mais simples do que todo esse “matematiquês” faz parecer...

O que devemos fazer é achar uma relação para δ (em função de ϵ ) tal que a primeira afirmação ( 0 < x - a < δ ) implique na segunda ( f x - L < ϵ ).

Passo 2

Neste passo vamos conjecturar um valor para δ como se estivéssemos fazendo um esboço.

Seja ϵ > 0 um número dado, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x - a < δ então c - L < ϵ

Como neste caso L = c , devemos achar δ tal que

se 0 < x - a < δ então c - c < ϵ

Assim, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x - a < δ então 0 < ϵ

Como ϵ > 0 por definição, qualquer escolha para δ > 0 serve!!! Por simplicidade, escolherei δ = ϵ .

Passo 3

Tomando δ = ϵ , temos que se 0 < x - a < δ , então δ = ϵ > 0 (ou c - c < ϵ ). Assim, para todo ϵ > 0 , existirá um δ > 0 que satisfaça a definição (a primeira afirmação implica na segunda).

Resposta

Demonstração.

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