Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 5
Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial na região .
, é cilindro sólido , .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pelo Teorema da Divergência temos:
Sendo assim, vamos testar dos dois lados.
Passo 2
Começando pelo lado direito.
Vamos calcular o divergente do campo :
Passo 3
Legal! O próximo passo é saber qual é a região . É um cilindro sólido, então em coordenadas cilíndricas temos .
No plano , temos um círculo de raio , então temos o intervalo
E o elemento de volume é
E o divergente em coordenadas cilíndricas é:
Agora podemos calcular o valor de :
Simplificando temos:
Lembrando que integrar seno ou cosseno em um período completo é zero, então só sobrou o último termo:
Certo! Agora temos que calcular para o outro lado!
Passo 4
Agora vamos calcular o lado esquerdo. Temos que considerar três superfícies: o topo e a base do cilindro e a área lateral.
No topo:
O campo é e o vetor normal é
O produto escalar entre e é:
A região projetada no plano é um círculo de raio . Em coordenadas polares . O elemento de área vai ser com os limites:
E fazendo a integral :
No fundo:
O campo é e o vetor normal é . Em temos:
O produto escalar entre e é:
Então para a base:
Agora para a lateral.
A curva pode ser parametrizada por:
E o vetor normal a essa superfície vai ser
Daí temos:
E o produto vetorial entre eles é:
Então o vetor normal é:
E o campo na nova parametrização:
E o produto escalar entre e :
Na região:
E o elemento de área vai ser:
Passo 5
Agora vamos jogar tudo isso na integral!
Agora comparando os resultados dos passos vemos que deu o mesmo resultado!
Então verificamos o teorema =D
Resposta
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