Enunciado

Se ∑ a n for divergente e c ≠ 0 , mostre que ∑ c a n é divergente.

Passo 1

Pessoal, aqui a gente sabe que uma série diverge e queremos provar que uma outra série muito parecida com ela também diverge.

Bom, acho que o que temos que fazer é comparar ne. Ver o que elas tem de pareciso ou de diferente, ver se conseguimos sair de uma e chegar na outra.

Vamos chamar de s n a enésima parte da somatória ∑ n = 1 ∞ a n  

s n = ∑ i = 1 n a i  

Se ∑ n = 1 ∞ a n   diverge, significa que a soma parcial s n   diverge quando n → ∞ . Isto é, o seu limite

lim n → ∞ ⁡ s n

é ∞ ,   - ∞   ou não existe. Então a gente tem que provar que, desde que c ≠ 0 o limite:

lim n → ∞ ⁡ s n

também é ∞ , - ∞   ou não existe,

Passo 2

Agora, vamos considerar ∑ n = 1 ∞ c a n  

Sua enésima parte será ∑ i = 1 n c a i

Mas num somatório, a gente pode colocar a constante em evidência:

∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i

E assim a gente encontra exatamente o mesmo somatório da primeira série:

c ∑ i = 1 n a i = c s n

Agora vamos ao limite:

lim n → ∞ ⁡ c s n

Limite de constante é a própria constante, então podemos colocar c pra fora:

lim n → ∞ ⁡ c . s n = c lim n → ∞ ⁡ s n

Opa mas a gente já sabe que lim n → ∞ ⁡ s n é ∞ , - ∞   o u não existe. E multiplicar por c não vai mudar esse resultado. Então esse

Então a soma parcial   ∑ n = 1 ∞ c a n diverge quando n → ∞ . Se uma parte da soma diverge, então a série inteira diverge.

Assim, podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ c a n é divergente.

Resposta

Demonstração.

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