Enunciado

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

∬ S f ∇ g - g ∇ f ∙ n   d S = ∭ E f ∇ 2 g - g ∇ 2 f d V

Passo 1

Temos a integral dupla:

∬ S f ∇ g - g ∇ f ∙ n   d S = ∬ S f ∇ g ∙ n   d S - ∬ S g ∇ f ∙ n   d S

E sabemos pelo enunciado da questão 29 do capítulo 16 , seção 9 que:

∬ S f ∇ g ∙ n   d S = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g   d V

Pra obter a segunda integral é simples, é só pegar a de cima e trocar f por g e vice versa:

∬ S g ∇ f ∙ n   d S = ∭ E g ∇ 2 f + ∇ g ∙ ∇ f   d V

Temos então que:

∬ S f ∇ g - g ∇ f ∙ n   d S = ∬ S f ∇ g ∙ n   d S - ∬ S g ∇ f ∙ n   d S = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g   d V - ∭ E g ∇ 2 f + ∇ g ∙ ∇ f   d V = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g - g ∇ 2 f - ∇ g ∙ ∇ f   d V = ∭ E f ∇ 2 g - g ∇ 2 f   d V

Pronto, demonstrado!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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