Verifique que.

d/dx[x+1(arctg(raiz(x))-raiz(x))] = arctg(raiz(x))

Passo 1

Vamos calcular d d x x + 1 arctg ⁡ x - x , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função constante, do produto e do polinômio:

arctg ⁡ f x ' = 1 1 + f 2 x ⋅ f x '

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

x n ' = n x n - 1

Passo 2

Vamos aplicar:

y ' = x + 1 arctg ⁡ x - x ' = x + 1 arctg ⁡ x ' + - x '

Vamos resolver a primeira derivada:

x + 1 arctg ⁡ x ' = f ' x g x + g ' x f x = x + 1 ' arctg ⁡ x + arctg ⁡ x ' x + 1 = x 1 - 1 + 0 arctg ⁡ x + 1 1 + x 2 x ' x + 1 = x 0 arctg ⁡ x + x + 1 1 + x 1 2 x 1 2 - 1 = 1 arctg ⁡ x + 1 ⋅ 1 2 x - 1 2 = arctg ⁡ x + 1 2 x

Agora a segunda:

- x ' = - 1 2 x 1 2 - 1 = - 1 2 x - 1 2 = - 1 2 x

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = x + 1 arctg ⁡ x ' + - x ' = arctg ⁡ x + 1 2 x + - 1 2 x = arctg ⁡ x

Assim:

d d x x + 1 arctg ⁡ x - x = arctg ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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