(Função arco-secante. A função f(x) = sec x , 0 <= x <= pi / 2 é inversível e sua inversa é a função g(x) = arcsec(x) , x >= 1 . Calcule arcsec'(x) .

Passo 1

Vamos calcular f ' x , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica:

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

Assim:

f ' x = sec ⁡ x ' = sec ⁡ x tg ⁡ x

Passo 2

Vamos encontrar a inversa g :

g ' x = 1 f ' g x = 1 sec ⁡ arcsec ⁡ x tg ⁡ arcsec ⁡ x = 1 x tg ⁡ arcsec ⁡ x

Agora vamos fazer uma manipulação através da identidade trigonométrica fundamental:

tg 2 ⁡ arc sec ⁡ x = sec 2 ⁡ arcsec ⁡ x - 1 → tg 2 ⁡ arcsec ⁡ x = sec ⁡ arcsec ⁡ x 2 - 1 → tg 2 ⁡ arcsec ⁡ x = x 2 - 1 → tg ⁡ arcsec ⁡ x = x 2 - 1

Passo 3

Substituindo em g ' x :

g ' x = 1 f ' g x = 1 x tg ⁡ arcsec ⁡ x = 1 x x 2 - 1

Com x ≥ 1 .

Resposta

arcsec ' ⁡ x = 1 x x 2 - 1

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