Demonstre a Fórmula 9 .

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos demonstrar a fórmula 09 , que é a fórmula para encontrar as coordenadas do centroide de uma superfície. Para isso iremos utilizar a definição de integral.

Passo 2

A região que queremos encontrar se encontra entre duas curvas, que chamaremos de f ( x ) e g ( x ) . Os momentos M x e M y podem ser encontrados da seguinte maneira

M y R i = x i ρ f x i - - g x i - ∆ x

M x R i = 1 2 ρ f x i - 2 - g x i - 2 ∆ x

Que é o produto da massa pelo i-ésimo centroide de um retângulo aproximável R i .

Passo 3

Somando tudo e tomando o limite quando n → ∞ , temos

M y = lim n → ∞ ⁡ ∑ i x i ρ f x i - - g x i - ∆ x = ρ ∫ a b x f x - g x d x

M x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i 1 2 ρ f x i - 2 - g x i - 2 ∆ x = ρ 2 ∫ a b x f x 2 - g x 2 d x

Temos então dessa forma a seguinte relação

x - = M y ρ A = ρ ρ A ∫ a b x f x - g x d x

y - = M x ρ A = ρ 2 ρ A ∫ a b x f x 2 - g x 2 d x

Resposta

x - = 1 A ∫ a b x f x - g x d x

y - = 1 2 A ∫ a b x f x 2 - g x 2 d x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados