Enunciado

Demonstre que a função

f x = x 101 + x 51 + x + 1

não tem nem máximos nem mínimos locais.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos mostrar que a função abaixo não tem nem máximos nem mínimos locais:

f x = x 101 + x 51 + x + 1

Bom... aqui usaremos o teorema de Fermat para provar que a função não tem extremos locais.

Relembrando, o teorema de Fermat diz que se a função tiver um extremo local em um ponto, então ou a derivada da função da função não existe neste ponto ou ela se anula.

Observe bem que a função dada é um polinômio (um polinômio estranho, mas é um polinômio). Então ela é contínua e derivável em todos os pontos, de modo que a derivada vai existir.

Então, para que a função tenha extremos locais, a derivada deve se anular em algum ponto, é isso que nós vamos verificar!!!

Passo 2

Queremos ver se a derivada de f se anula em algum ponto: então vamos derivá-la!!!

f ' x = 101 x 100 + 51 x 50 + 1

Vimos que como f é um polinômio, seus únicos possíveis pontos de máximo ou mínimo locais são tais que f ' x = 0 .

Então vamos impor essa condição:

101 x 100 + 51 x 50 + 1 = 0

Note que essa é uma equação bem esquisita, mas que lembra muito as equações biquadradas que você ter visto no ensino médio.

Passo 3

Vamos fazer a mudança de variável t = x 50 . Assim, a equação fica

101 t 2 + 51 t + 1 = 0

Essa equação pode ser resolvida pela fórmula de Bháskara. O discriminante será

Δ = 51 2 - 4 ⋅ 101 ⋅ 1 = 2601 - 404 = 2197

Assim,

t = - 51 ± 2197 2 ⋅ 101

Todavia, note que 51 2 = 2601 > 2197 .

Assim - 51 ± 2197 < 0 , de modo que t < 0 .

Por outro lado, como t = x 50 e 50 é um número par, não podemos extrair a raiz par de um número negativo: a equação   101 x 100 + 51 x 50 + 1 = 0 não tem solução real.

Assim, vemos que f não tem pontos críticos e provamos, pelo teorema de Fermat, que não tem extremos locais!!!

Resposta

Demonstração.

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