Enunciado

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

d i v   F → × G → = G → ⋅   r o t   F → -   F → ⋅ r o t   G →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos supor que os campos vetoriais F → e G → são dessa forma aqui ó:

F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k →

G → = G 1 i → + G 2 j → + G 3 k →

Ok?

Passo 2

Vamos calcular agora o produto vetorial entre F → e G → :

F → × G → = i → j → k → F 1 F 2 F 3 G 1 G 2 G 3 = i → F 2 G 3 - F 3 G 2 + j → F 3 G 1 - F 1 G 3 + k → F 1 G 2 - F 2 G 1

Passo 3

Vamos ver agora o que o divergente de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor v → ( a , b , c ) qualquer opera assim ó:

∇ ⋅ v → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ a , b , c = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

E agora o que o rotacional de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto vetorial com um vetor v → ( a , b , c ) qualquer opera assim ó:

∇ × v → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z a b c = i → ∂ ∂ y c - ∂ ∂ z b + j → ∂ ∂ z a - ∂ ∂ x c + k → ∂ ∂ x b - ∂ ∂ y a

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Passo 4

Agora vou aplicar o divergente no vetor que calculamos no passo 1 :

∇ ⋅ F → × G → = ∂ ∂ x F 2 G 3 - F 3 G 2 + ∂ ∂ y F 3 G 1 - F 1 G 3 + ∂ ∂ z F 1 G 2 - F 2 G 1

E agora aplicar a regra do produto para as derivadas parciais. Sim, se você pensou que vai dar um monstro de coisas, sim está certo! Mas calma! Vamos fazer com calma que vai dar tudo certo no final!

∇ ⋅ F → × G → = G 3 ∂ ∂ x F 2 + F 2 ∂ ∂ x G 3 - G 2 ∂ ∂ x F 3 - F 3 ∂ ∂ x G 2 + G 1 ∂ ∂ y F 3 + F 3 ∂ ∂ y G 1 - G 3 ∂ ∂ y F 1 - F 1 ∂ ∂ y G 3 + G 2 ∂ ∂ z F 1 + F 1 ∂ ∂ z G 2 - G 1 ∂ ∂ z F 2 - F 2 ∂ ∂ z G 1  

Passo 5

Agora vou agrupar por componentes semelhantes:

∇ ⋅ F → × G → = G 1 ∂ ∂ y F 3 - ∂ ∂ z F 2   + G 2 ∂ ∂ z F 1 - ∂ ∂ x F 3 + G 3 ∂ ∂ x F 2 - ∂ ∂ y F 1 + F 1 ∂ ∂ z G 2 - ∂ ∂ y G 3 + F 2 ∂ ∂ x G 3 - ∂ ∂ z G 1 + F 3 ∂ ∂ y G 1 - ∂ ∂ x G 2  

Vamos comparar com os resultados do passo 2 . Os três primeiros colchetes do lado direito representam o rotacional de F → e como temos a multiplicação das componentes do vetor G → podemos dizer que representam G → ⋅ ( ∇ × F → ) .

Os três últimos são bem similares, mas temos o negativo do rotacional (presta atenção nas coordenadas e nas derivadas parciais) de G → . Então juntando esses dois resultados temos:

∇ ⋅ F → × G → = G → ⋅ ∇ × F → - F → ⋅ ( ∇ × G → )

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∇ ⋅ F → × G → = G → ⋅ ∇ × F → - F → ⋅ ( ∇ × G → )

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