Enunciado

3) Suponha que o aberto Ω ⊂ ℝ2 tenha a seguinte propriedade: existe (x0,y0, z0) em Ω tal que, para todo (x, y, z) ∈ Ω, a poligonal de vértices (x0,y0, z0), (x, y0, z0), (x, y, z0) e (x, y, z) esteja contida em Ω

Seja F = P i + Q j + R k   de Casse C 1 no aberto Ω e suponha que ∇ × F = 0 em Ω . Seja

ϕ   x , y , z =   ∫ x 0 x P t , y 0 ,   z 0 d t   +   ∫ y 0 y Q x , t ,   z 0 d t +   ∫ z 0 z R x , y ,   t d t  

Prove que

∇   ϕ = F

Passo 1

Bem Para que F admita uma função potencial, tem que acontecer duas coisas. Nosso intervalo em R³ – Ω – tem que ser simplesmente conexo e F ser independente de caminho, ou seja

∇ × F = 0

Pelo que o enunciado nos diz, o espaço Ω satisfaz as condições e Rot F =0. Então a principio sabemos que F admito uma função potencial. Vamos agora provar que essa função é ϕ

Passo 2

Vamos calcular

∇ ϕ = d ϕ d x , d ϕ d y , d ϕ d z

Sendo ϕ

ϕ   x , y , z =   ∫ x 0 x P t , y 0 ,   z 0 d t   +   ∫ y 0 y Q x , t ,   z 0 d t +   ∫ z 0 z R x , y ,   t d t

Pelo enunciado sabemos que os termos que estamos integrando, por exemplo em

∫ z 0 z R x , y ,   t d t

Esse x e y em R x , y ,   t não são variáveis, são números. Pode ate ficar confuso porque usaram a mesma letra, vamos trocar por R x ' , y ' ,   t para não confundir. De forma que vamos usar o Teorema fundamental do cálculo

d ϕ d x = d d x ∫ x 0 x P t , y 0 ,   z 0 d t  

d ϕ d y = d d y ∫ y 0 y Q x ' , t ,   z 0 d t

d ϕ d z = d d z ∫ z 0 z R x ' , y ' ,   t d t  

Passo 3

Dessa forma temos que

∇ ϕ = P x , y 0 , z 0 , Q x ' , y ,   z 0   ,   R x ' , y ' ,   z

E como

F = P ,   Q ,   R

Podemos afirmar que

F = ∇ ϕ  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. d )F → x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 2 i → + y x 2 + y 2 + z 2 2 j → + z x 2 + y 2 + z 2 2 k →
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. b )F → x , y = y i → + x j →
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. c )F → x , y , z = x - y i → + x + y + z j → + z 2 k →
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. F → x , y , z , w = ( x , y , z , w )
Seja f :R → R uma função contínua e seja F → o campo vetorial central: F → x , y , z = f r r → r , Onde r → = x i → + y j → + z k → e r = r → . Prove que F → é conservativo.(sugestão: verifique que ∇