Enunciado

Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valores.

b) ∫ 0,2 1,3 3 x 2 y d x - x 3 y 2 d y

Passo 1

Vamos seguir os passos do item a). Para saber se a integral independe do caminho, bastará calcular

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Se o resultado for igual a zero, então nossa integral não irá depender do caminho (nas condições do Teorema 6.4). Aqui, temos F 1 = 3 x 2 / y e F 2 = - x 3 / y 2 .

Passo 2

Vamos começar calculando essas derivadas:

∂ F 1 ∂ x = ∂ ∂ x - x 3 y 2 = - 3 x 2 y 2  

∂ F 2 ∂ y = ∂ ∂ y 3 x 2 y = - 3 x 2 y 2

Assim,

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

o que mostra que a integral não depende do caminho. Assim, F = F 1 ,   F 2 irá possuir uma função potencial φ x , y tal que ∇ φ = F , ou seja,

∂ φ ∂ x = F 1 = 3 x 2 y ∂ φ ∂ y = F 2 = - x 3 y 2

Passo 3

Integrando a primeira equação, em relação a x , temos

φ = ∫ 3 x 2 y d x = x 3 y + U y

onde U y é uma “constante” que depende apenas de y . Derivando a equação acima em relação a y e usando a segunda equação do nosso sistema,

∂ φ ∂ y = - x 3 y 2 + U ' y - x 3 y 2 = - x 3 y 2 + U ' y U ' y = 0

ou seja, U y = k ( k é uma constante que não depende nem de x nem de y ). Sendo assim, podemos tomar k = 0 . Logo,

φ x , y = x 3 y

Passo 4

Nossa integral será, por fim,

∫ 0,2 1,3 3 x 2 y d x - x 3 y 2 d y = φ x , y 0,2 1,3 = φ 1,3 - φ 0,2 ∫ 0,2 1,3 3 x 2 y d x - x 3 y 2 d y = 1 3

Resposta

∫ 0,2 1,3 3 x 2 y d x - x 3 y 2 d y = 1 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que F seja um campo vetorial inverso do quadrado, ou seja, F r = c r r 3 para alguma constante c , onde r = xi + yj + zk . Determine o trabalho realizado por F ao mover um objeto de um ponto P
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = x e yj + y e zk
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = x 2 y zi + x y 2 zj + x y z 2k
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = ln ⁡ x , ln ⁡ ( x y ) , ln ⁡ ( x y z )
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 xi + yj + zk