Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 26
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se for um campo escalar e e forem campos vetoriais, então , e serão definidos como:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essa identidade, vamos supor que o campo vetorial é dessa forma aqui ó:
Ok?
Passo 2
Vamos ver agora o que o rotacional de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto vetorial com um vetor qualquer opera assim ó:
Passo 3
Legal! O próximo passo é saber quem é . Sendo uma função escalar, então ela multiplica cada componente de :
Agora vamos fazer seguindo o que definimos no passo
Lembrando da regra do produto, vamos abrir essas derivadas todas:
Parece horrível, mas vamos organizar cada componente. Agregando o termo de cada componente e também o fica mais claro, saca só:
Passo 4
No lado direito, o primeiro parêntese de cada componente, se colocarmos em evidência e compararmos com o passo vamos ver que representa o valor de .
Já o segundo parêntese de cada componente, se lembrarmos que o gradiente de uma função escalar é
então podemos identificar como o produto vetorial do vetor com o vetor .
Assim juntando os dois resultados temos:
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D
Resposta
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