Enunciado

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

r o t   f F → = f   r o t   F → +   ( ∇ f ) × F →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essa identidade, vamos supor que o campo vetorial F → é dessa forma aqui ó:

F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k →

Ok?

Passo 2

Vamos ver agora o que o rotacional de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto vetorial com um vetor v → ( a , b , c ) qualquer opera assim ó:

∇ × v → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z a b c = i → ∂ ∂ y c - ∂ ∂ z b + j → ∂ ∂ z a - ∂ ∂ x c + k → ∂ ∂ x b - ∂ ∂ y a

Passo 3

Legal! O próximo passo é saber quem é f F → . Sendo f uma função escalar, então ela multiplica cada componente de F → :

f F → = f F 1 i → + f F 2 j → + f F 3 k →

Agora vamos fazer ∇ × f F → seguindo o que definimos no passo 2 :

∇ × ( f F → ) = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f F 1 f F 2 f F 3 = i → ∂ ∂ y f F 3 - ∂ ∂ z f F 2 + j → ∂ ∂ z f F 1 - ∂ ∂ x f F 3 + k → ∂ ∂ x f F 2 - ∂ ∂ y f F 1

Lembrando da regra do produto, vamos abrir essas derivadas todas:

∇ × f F → = i → f ∂ ∂ y F 3 + F 3 ∂ ∂ y f - f ∂ ∂ z F 2 - F 2 ∂ ∂ z f + j → f ∂ ∂ z F 1 + F 1 ∂ ∂ z f - f ∂ ∂ x F 3 - F 3 ∂ ∂ x f + k → f ∂ ∂ x F 2 + F 2 ∂ ∂ x f - f ∂ ∂ y F 1 - F 1 ∂ ∂ y f

Parece horrível, mas vamos organizar cada componente. Agregando o 1 º   e   3 º termo de cada componente e também o 2 º   e   4 º fica mais claro, saca só:

∇ × f F → = i → f ∂ ∂ y F 3 - f ∂ ∂ z F 2 + i → F 3 ∂ ∂ y f - F 2 ∂ ∂ z f + j → f ∂ ∂ z F 1 - f ∂ ∂ x F 3 + j → F 1 ∂ ∂ z f - F 3 ∂ ∂ x f + k → f ∂ ∂ x F 2 - f ∂ ∂ y F 1 + F 2 ∂ ∂ x f - F 1 ∂ ∂ y f

Passo 4

No lado direito, o primeiro parêntese de cada componente, se colocarmos f em evidência e compararmos com o passo 2 vamos ver que representa o valor de f ∇ × F → .

Já o segundo parêntese de cada componente, se lembrarmos que o gradiente de uma função escalar f é

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → ,

então podemos identificar como o produto vetorial do vetor ∇ f com o vetor F → .

Assim juntando os dois resultados temos:

∇ × f F → = f ∇ × F → + ( ∇ f ) × F →

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∇ × f F → = f ∇ × F → + ( ∇ f ) × F →

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