Enunciado

Demonstre a identidade:

cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + senh x senh y

Passo 1

Se o senh x (seno hiperbólico de x ) é dado por:

senh x = (e^x - e^(- x))/(2)

E o cosh x (cosseno hiperbólico de x ) é dado por:

cosh x = (e^x + e^(- x))/(2)

Passo 2

Então:

cosh x cosh y + senh x senh y = (e^x + e^(- x))/(2) xx (e^y + e^(- y))/(2) + (e^x - e^(- x))/(2) xx (e^y - e^(- y))/(2)

cosh x cosh y + senh x senh y = ((e^x + e^(- x)) ( e^y + e^(- y) ))/(4) + ((e^x - e^(- x)) (e^y - e^(- y)))/(4)

cosh x cosh y + senh x senh y = ((e^x + e^(- x)) ( e^y + e^(- y) ) + (e^x - e^(- x)) (e^y - e^(- y)))/(4)

= (e^(x + y) + e^(x - y) + e^(- x + y) + e^(- x - y) + e^(x + y) - e^(x - y) - e^(- x + y) + e^(- x - y))/(4)

cosh x cosh y + senh x senh y = (e^(x + y) + e^(- x - y) + e^(x + y) + e^(- x - y))/(4)

cosh x cosh y + senh x senh y = (2 e^(x + y) + 2 e^(- ( x + y )))/(4)

cosh x cosh y + senh x senh y = (e^(x + y) + e^(- (x + y)))/(2) = cosh (x + y)

Passo 3

Logo, comprovamos que:

cosh (x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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