Enunciado

Mostre que, de todos os triângulos isósceles com um dado perímetro, aquele que tem a maior área é o equilátero.

Passo 1

Podemos esboçar o seguinte desenho:

Passo 2

Nosso objetivo é achar a área máxima do triângulo isósceles com um dado perímetro e mostrar que ele é o equilátero, então primeiro, a fórmula da área:

A = b h 2

Isolando uma das variáveis para substituir em A :

s 2 = h 2 + b 2 2

h 2 = s 2 - b 2 4

h = s 2 - b 2 4

Substituindo:

A = b s 2 - b 2 4 2

Ainda temos A dependendo de mais de uma variável, então vamos usar a informação do perímetro dada no enunciado para isolar uma delas:

p = 2 s + b

s = p + b 2

Substituindo: A = b ( p + b 2 ) 2 - b 2 4 2

A b = b 2 p - b 2 4 - b 2 4

A b = b p 2 - 2 p b 4

Passo 3

Maximizando A ( b ) :

A ' b = p 2 - 2 p b 4 - b p 4 p 2 - 2 p b = 0

A ' b = - 3 p b + p 2 4 p 2 - 2 p b = 0

- 3 p b + p 2 = 0

b = p 3

Substituindo b no perímetro:

2 s + p 3 = p

2 s = 2 3 p

s = p 3 = b

Isso prova que todos os lados desse suposto triângulo são iguais, então ele é o triângulo equilátero.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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